木 (数学)

数学、特にグラフ理論の分野における木（き、英: tree）とは、連結で閉路を持たない(無向)グラフである。有向グラフについての木（有向木）についても論じられるが、当記事では専ら無向木を扱う（有向木については節にまとめた）。

概要木, 頂点 ...

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閉路を持たない（連結であるとは限らない）グラフを森（もり、英: forest）という。木は明らかに森である。あるいは、森を一般的な場合とし、連結な森を木という、とすることもある。

→コンピュータ上での木の扱いについては「木構造 (データ構造)」を参照

$n$ 個の点からなるグラフ $T$ について次は同値である^[1]。

木 $T$ には、以下のような性質がある。

$T$ の2点を結ぶ $T$ に含まれない辺 $e$ に対して、 $T + e$ には $e$ を通るただ一つの閉路があり、この閉路上の任意の辺 $f$ に対して $T$ + e - $f$ は木となる。
頂点が2つ以上ある木には少なくとも2個の端末点がある。また、端末点とは次数1の点である。

上の定理から、木には必ず端末点があり、その端末点を除去すると位数の一つ小さい木が得られる。逆に言えば、位数 $n$ の木は、位数 $n - 1$ の木に一つの新しい点と、これに接続する一本の新しい辺を加えて得られる。

あるノードを選んで、それを一番「上」にあると考えると、そのノードを基準として2つのノードに上下の関係を考えることが出来る（すべてのノードの組み合わせについて定義されるとは限らない）。このとき、その一番上のノードを根（ね、英: root）という。根を持つ木を単なる木と区別して根付き木という。

根つき木に関する用語は、それを家系図に見たてたものが多く使われる。

点 $v 1$ と $v 2$ が辺で結ばれており、しかも $v 1$ の方が $v 2$ よりも根に近いとき、 $v 1$ は $v 2$ の親であるといい、 $v 2$ は $v 1$ の子であるという。
点 $v 2$ と $v 3$ が共通の親を持つとき、 $v 2$ と $v 3$ は兄弟という。
根つき木上の2点 $v 1$ , $v 2$ に対し、 $v 2$ と根を結ぶ経路上に $v 1$ があるとき、 $v 1$ は $v 2$ の先祖であるといい、 $v 2$ は $v 1$ の子孫であるという。

また、根つき木に関する用語として、他に以下のようなものがある。

$n$ を自然数とする。葉ではない各点に対しその点の子の数が常に $n$ であるような木を $n$ 分木( $n$ ぶんぎ; n-ary tree)という。特に二分木はいくつかのアルゴリズムと密接に関わるデータ構造である（ただし大抵は次で述べる有向木による二分木）。

一般に、無向木は任意の点を根とみなすことができる。それに対し有向木は、根である点をただ1つだけ持つ。辺の向きとして、根から葉に向かっている場合と、葉から根に向かっている場合とがある。混在はできない（混在してしまうと閉路ができてしまう）^[2]。

閉路を持たない任意の有向グラフは有向非巡回グラフ（Directed Acyclic Graph、DAG^[3]）である。有向木は連結な有向非巡回グラフでもあるが、連結な有向非巡回グラフが必ずしも有向木とは限らない（DAGでは子孫あるいは親の共有がある場合がある。そうするとそれは木ではない）。

[1]
ウィルソン 2007, p. 60.
[2]
データ構造などの実装としてはしばしば、Unixのファイルシステムにおける .. というディレクトリエントリなどのように、逆向きのリンクを持たせることがある。
[3]
頻出するデータ構造であり、アクロニム風に「だぐ」と呼ばれることも多い。

特徴づけ