接束
可微分多様体の接空間の非交和 / ウィキペディア フリーな encyclopedia
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微分幾何学において、可微分多様体 M の接束(せっそく、英: tangent bundle, 接バンドル、タンジェントバンドル)は M の接空間の非交和[注釈 1]である。つまり、
ただし TxM は M の点 x における接空間を表す。なので、TM の元は対 (x, v)、ただし x は M の点で v は M の x における接ベクトル、と考えることができる。π(x, v) = x で定義される自然な射影
が存在する。この射影は各接空間 TxM を一点 x に写像する。
接束には(下のセクションで記述される)自然な位相が入る。この位相によって、多様体の接束はベクトル束(ファイバーがベクトル空間であるファイバー束)の典型的な例である。TM の断面は M 上のベクトル場であり、TM の双対束は余接束で、M の余接空間の非交和である。定義により、多様体 M が平行化可能(英語版) (parallelizable) であることと接束が自明であることは同値である。定義により、多様体 M が 枠付き(英語版) であることと接束 TM が stably trivial、すなわちある自明束 E に対しホイットニー和 (Whitney sum) TM ⊕ E が自明であることは同値である。例えば、n 次元球面 Sn はすべての n に対して枠付きであるが、(Bott-Milnor と Kervaire の結果によって)n = 1, 3, 7 に対してのみ平行化可能である。