対称差
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数学において、2 つの集合 A と B との対称差(たいしょうさ、英: symmetric difference[1])とは、“A に属し、B に属さないもの” と “B に属し、A に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である[2]。一般に、集合 A と B との対称差を、記号
A△B[2] あるいは A⊖B あるいは A⊕B
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![ベン図による対称差の表現](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/Venn-Diagram-XOR.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Venn_0110_1001.svg/220px-Venn_0110_1001.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/Venn_0110_0110.svg/40px-Venn_0110_0110.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/Venn_0000_1111.svg/40px-Venn_0000_1111.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Venn_0110_1001.svg/40px-Venn_0110_1001.svg.png)
などで表す。例えば、{1, 2, 3} と {3, 4} との対称差は {1, 2, 4} に等しい: {1, 2, 3}△{3, 4} = {1, 2, 4}。
任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 △ を算法としてアーベル群となる[3]。空集合 ∅ はその群の単位元であり、その群の任意の元はその元自身の逆元である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 △ を加法とし共通部分 ∩ を乗法とするとき、ブール環となる[4]。