圏論の基礎

圏論の基礎（Categories for the Working Mathematician; CWM）は、圏論の創始者の一人であるソーンダース・マックレーン^[1]自身によって書かれた圏論の教科書。最初の出版は1971年で、著者がシカゴ大学、オーストラリア国立大学、ボウディン大学、そしてテュレーン大学で行った講義を基にしている。圏論への導入書として広く認められている (#評価節参照)。

概要

圏、関手、自然変換といった概念は、代数的構造の変換の自然さを形式化するために1940年代に導入された概念である。圏論のアイデアや手法は、ホモロジー代数やファイバー束をはじめとして、代数幾何、微分幾何、代数トポロジー、代数解析といった現代数学の様々な分野においていろいろな概念をクリアにしてその上に新しい概念を作り出すのに役立っているが、近年ではさらに数理物理、コンピュータ科学の分野でも、その応用が目覚ましい成果をあげている。本書は、圏の概念の考案者の一人マックレーンが、数理科学のさまざまな分野の研究に携わる学生・研究者のために、圏論の基礎をまとめた標準的なテキストである。

—三好博之、高木理、訳者あとがき、CWM

原書名「Categories for the Working Mathematician」を逐語訳すると「働く数学者のための圏」となる。訳書の複数の内容紹介文によれば、本書の読者の対象である働く数学者（the working mathematician）とは「数理科学のさまざまな分野の研究に携わる学生・研究者」のことであり純粋な数学の専門職に向けて書かれたものではない^[2]。

内容

本書は以下の12章からなる。

• 第一章：圏、函手、自然変換（Categories, Functors, and Natural Transformations.）
• 第二章：圏の構築（Constructions on Categories.）
• 第三章：普遍的構成と極限（Universals and Limits.）
• 第四章：随伴（Adjoints.）
• 第五章：極限（Limits.）
• 第六章：モナドと代数（Monads and Algebras.）
• 第七章：モノイド（Monoids.）
• 第八章：アーベル圏（Abelian Categories.）
• 第九章：特別な極限（Special Limits.）
• 第十章：カン拡張（Kan Extensions.）
• 第十一章：モノイダル圏における対称性と組み上げ（Symmetry and Braiding in Monoidal Categories.）
• 第十二章：圏の中の構造（Structures in Categories.）

第11章と第12章は1998年の第2版で付け加えられた。1つ目は弦理論と場の量子論におけるその重要性を考慮したものであり、2つ目は重要視されるようになった高次元圏論に対応するためのものである^[3]。

圏論の古典的な文献であるものの、いくつかの用語は標準とはなっていない。特にマックレーンは、エピック（epic）とモニック（monic）という用語を導入することによりエピ射（epimorphism）とモノ射（monomorphism）という用語の用法の曖昧さを解決させようと試みたものの、この区別は一般的なものとはならなかった^[4]。

評価

• 「圏論の創設者の一人による、ほとんどの圏論の重要概念のアイディアへの、純粋数学者に向けた、整頓された入門書。序文で述べたように、(この本の)『(圏論的) 要請』は、マックレーンの本をより広範な聴衆にアクセスできるようにするということが目的の一つである。（CWMには）歴史的な記録も記載されている。」(Arbib 1975, p. 176) ^[5]
• 「1971年に出た原著初版は、圏論の標準的教科書として、広く読まれてきた。」（白旗 2005）
• 「我々にはすでにマックレーンの『圏論の基礎』があるのに、なぜ我々は圏論の新しい教科書を書くのであろうか？簡単に言えば、マックレーンの本は働く（そして意欲的な）数学者に向けられたものであるからである。今求められているのは、30年経過して履修課程において多様な他分野と場所に広がったことを踏まえて、その他すべての人達のための一冊である。」(Awodey 2010, p. iv) ^[6]
• 「圏論の本の中で高くそびえる存在は、圏論の創設者による古典的一冊であるソーンダース・マックレーンの『圏論の基礎』である。」(Leinster 2014, p. 174) ^[7]

参考文献

1. Arbib, Michael A. (1975). Arrows, Structures, and Functors: The Categorical Imperative. Academic Pr
2. Awodey, Steve (2010). Category Theory. Oxford University Press
3. Bergman, George (1998). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions. Henry Helson
4. Leinster, Tom (2014). Basic category theory. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-36006-8. OCLC 886649936. https://www.worldcat.org/oclc/886649936
5. Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (Second edition ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-98403-8. OCLC 37928530. https://www.worldcat.org/oclc/37928530
6. Mac Lane, Saunders 著、三好 博之, 高木 理 訳『圏論の基礎』丸善出版、Tōkyō、2012年。ISBN 978-4-621-06324-8。OCLC 809499549。https://www.worldcat.org/oclc/809499549。
7. 白旗, 優「【書評】S. マックレーン（三好博之・高木理 訳）：圏論の基礎，シュプリンガー・フェアラーク東京，2005年，425ページ．」『数学』第59巻第2号、2005年、196-198頁、doi:10.11429/sugaku.0592196。

脚注

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1. 圏や関手といった概念は1940年代にマックレーンとサミュエル・アイレンベルグによって導入、研究された。
2. 丸善出版『圏論の基礎』紹介ページ など。
3. 第二版の序文より (Mac Lane 1998)。
4. Bergman 1998, p. 179
5. "An uncluttered introduction, for pure mathematicians, to most of the important ideas of category theory, by one of its founders. As we mentioned in the preface, Imperative has as one of its aims to make Mac Lane's book accesible to wider audience. Historical notes are provided."
6. "Why write a new textbook on Category Theory, when we already have Mac Lane’s Categories for the Working Mathematician? Simply put, because Mac Lane’s book is for the working (and aspiring) mathematician. What is needed now, after 30 years of spreading into various other disciplines and places in the curriculum, is a book for everyone else."
7. "The towering presence among category theory books is the classic one by one of its founders: Saunders Mac Lane's Categories for the Working Mathematician"