数学において、四次関数(よじかんすう、英: quartic function, biquadratic function[注 1])は、次数 4 の多項式の定める関数である。一変数の場合には具体的に、a (≠ 0) および b, c, d を定数として
![{\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be36ab6622c03f60756f7386cd8f83d8c9996c01)
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3つの極値を持つ四次多項式関数のグラフ
と表される。特別の場合として、x2 の二次関数:
![{\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de91b6d88f34232ba13dd774c52fbcc71322e78)
を複二次関数 (biquadratic function)[注 1]と呼ぶ。
四次関数 f(x) の零点(x切片)は四次方程式
![{\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\quad (a\neq 0)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f328a144fcc92c8765efdd290f3098e2a6428df)
の解である。また、四次関数の導関数は三次関数になる。
四次関数は偶数次の多項式関数だから、変数を正の無限大 +∞ に近づける極限でも、負の無限大 −∞ に近づける極限でも、ともに等しい極限を持つ。この極限は、最高次の係数 a が正ならば、正の無限大となり、従ってその四次関数は(大域的な)最小値を持つ。同じように、a が負ならば負の無限大へ発散し、(大域的な)最大値を持つ。