表現論において、
のベクトルと
の線型汎関数はいずれも列ベクトルと考え、したがって表現は左から(行列の乗法によって)作用できる。線型汎関数
の
への作用
は行列の乗法
![{\displaystyle \left\langle \varphi ,v\right\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6a555e0abd64e01f24e509f44ba93020d77478)
によって表現できる。ただし上付きの
は行列の転置を表す。群
の作用と整合的であるためには
![{\displaystyle \left\langle \rho ^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \varphi ,v\right\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d113c1b019ff258bea617d18717b28bbc18364)
が要求される[3]。反傾表現の定義から、
![{\displaystyle \left\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left(\rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi \right)^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho \left(g^{-1}\right)\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\left\langle \varphi ,v\right\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0234898ccd50adb0afd296624f68bd5d1de15160)
となり、整合性を持つことが確かめられる。
リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。一般に、
がリー群の表現であれば、
![{\displaystyle \pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd3337ff470f3cac7f212ab7e940c2bd536d7ed)
によって与えられる
はそのリー環の表現である。
が
に双対であれば、その対応するリー環の表現
は、
![{\displaystyle \pi ^{*}(X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}\left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{-tX}\right)^{T}\right|_{t=0}=-\pi (X)^{T}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd181dc55f4ad50f64ff27caa91c26f8d0a459f)
で与えられる[4]。
- 群
の2つの表現
と
から、次のようにして
上の
の表現
が定義される[5]:
- すべての
とすべての
に対して、
。
- 反傾表現は、
が自明表現の場合である。
Lecture 1 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, p. 4 Lecture 8 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, p. 111 Lecture 1, page 4 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6 Lecture 8, page 111 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6