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力の平行四辺形(ちからのへいこうしへんけい、英: parallelogram of force)は、物体に2つの力の加法によって得られる平行四辺形である。力の平行四辺形は、2つの力の合力を図示するためにしばしば用いられる。
この項目「力の平行四辺形」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。(原文:英語版"Parallelogram of force" 04:17, 13 Mar 2020 (UTC)) 修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。(2020年4月) |
2つより多くの力のなす図形はもはや平行四辺形ではなくなるが、それらの合力がなす図として同様に平行四辺形を作図できる。例えば、図1では、F2 の始点が F1 の終点と一致するように F2 を移動させるのと、F1 の始点と F2 の終点を結ぶベクトルを正味の力とするのとでは同じ結果になる。3つのベクトル F1, F2, G の合力の場合も同様に、Fnet = F1 + F2 と G のなす平行四辺形として作図できる(結果は和の順序に依存しない)。
与えられた時間(例えば1秒)で粒子がAからBへの線(図2)に沿って一定の速度で移動し、同時に線ABがABの位置からDCの位置に一様に移動し、終始元の方向と平行なままであるとする。両方の運動を考慮すると、粒子は線ACをたどる。与えられた時間内の変位は速度の尺度なので、ABの長さはABに沿った粒子の速度の尺度であり、ADの長さはADに沿った線の速度の尺度であり、ACの長さはACに沿った粒子の速度の尺度である。粒子の運動はACに沿って単一の速度で移動した場合と同じである[1]。
図1の原点(ベクトルの「尾」)にある粒子に2つの力が作用したとする。ベクトルF1とF2の長さは2つの力がある時間作用することにより粒子に生じる速度を表し、それぞれの方向はそれが作用する方向を表している。それぞれの力は独立に作用し、他の力が作用するかしないかにかかわらず特定の速度を作り出す。与えられた時間の終わりでは、粒子は両方の速度を持っている。上記の証明により、これは1つの速度Fnetと等価である。ニュートンの第2法則により、このベクトルはその速度を生み出す力の尺度でもあり、したがって、2つの力は1つの力と等価である[2]。
力をユークリッドベクトルもしくはの要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。すなわち、任意の2つの力に対して、が存在する。 最後の仮定は2つの力の合力が回転しても変化しないことである。を任意の回転(であるの通常のベクトル空間構造の任意の直交写像)とすると、任意の力に対しは
を満たす。2つの力とは垂直で、の長さを、の長さを、およびの長さをと仮定する。 およびとして、をとの間の回転とするとである。回転が不変の下では
を得る。同様に、さらに2つの力を考える。をからへの回転とするとであり、これによりとなる。
これら2つの方程式より
を得る。とはどちらもに沿っているため、長さはに等しく、
である。このことはが長さを持ち、これはの長さであることを示している。したがって、とが垂直である場合、である。ここで、2つの補助の力を組み合わせるとき、の結合性を用いた。以下の証明にもこの追加の仮定を使用する[3] [4]。
力をユークリッドベクトルもしくはの要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。そのため、2つの力には、別の力が存在する。可換性を仮定する。これらは同時に加えられる力なので、順序は重要ではなく、である。
写像 を考える。 が結合的であるならば、この写像は線形である。をに、をに写すため、恒等写像である必要もある。よっては通常のベクトル加算演算子と同等でなければならない[3][5]。
力の平行四辺形の数学的証明は、数学的に妥当であると一般に認められていない。さまざまな証明が開発され(主にDuchaylaとポアソンのもの)、これらも反論を引き起こした。力の平行四辺形が真実であるかどうかは疑問視されなかったが、なぜ真実であったのであろうか。今日、力の平行四辺形は経験的事実として受け入れられており、ニュートンの第1原理に還元することはできない[3][6]。
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