ローレンツ方程式 （ローレンツほうていしき）とは、数学者・気象学者であるエドワード・ローレンツ （Edward Lorenz）が最初に研究した非線型常微分方程式 である。特定のパラメータ値と初期条件に対してカオス 的な解を持つことで注目されている。特に、ローレンツ方程式のカオス解の集合はローレンツ・アトラクター と呼ばれる。いわゆるバタフライ効果 の説明に用いられることが多く、決定論的な連立常微分方程式が初期値鋭敏性を持つことは驚きをもって迎えられ、カオス研究の端緒となった。
ρ = 28σ = 10β = 8 / 3
1963年、エドワード・ローレンツは、数値シミュレーションや数値計算を担当したエレン・フェッター と、ローレンツ方程式の発見に至る初期の数値計算を担当したソフトウェアエンジニア、マーガレット・ハミルトン の協力を得て、大気変動 の簡易数学モデルを開発した[1] [2]
d
x
d
t
=
σ
(
y
−
x
)
,
d
y
d
t
=
x
(
ρ
−
z
)
−
y
,
d
z
d
t
=
x
y
−
β
z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}
この方程式は、下から暖められ、上から冷やされる2次元の流体層の特性に関するもので、3つの量の時間に対する変化率を記述しており、 x は対流速度に、y は水平温度変化に、z は垂直温度変化に比例する。 [3] σ , ρ , β はそれぞれ プラントル数 、レイリー数 に関する不安定度を表すパラメータ、臨界水平波数に関するパラメータである。
ローレンツ方程式はレーザー 、[4] 発電機 、[5] サーモサイフォン 、 [6] DCモーター 、 [7] 電気回路 、 [8] 化学反応 [9] 正浸透 [10] マルクス水車 のフーリエ空間での支配方程式でもある [11] [12]
通常、パラメータ σ , ρ , β は正であると仮定する。ローレンツはσ =10β =8 / 3 ρ =28[13]
もしρ <1アトラクター となる。[14]
ρ = 1ピッチフォーク分岐 が起こり、ρ > 1
(
β
(
ρ
−
1
)
,
β
(
ρ
−
1
)
,
ρ
−
1
)
and
(
−
β
(
ρ
−
1
)
,
−
β
(
ρ
−
1
)
,
ρ
−
1
)
.
{\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)\quad {\text{and}}\quad \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).}
ρ
<
σ
σ
+
β
+
3
σ
−
β
−
1
,
{\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},}
σ > β + 1ρ は正となりうる。また臨界値では、両平衡点はホップ分岐 を経て安定性を失う。[15]
ρ =28σ =10β =8 / 3 – ローレンツアトラクター – 、ストレンジアトラクター 、フラクタル 、自己励起アトラクタに傾くことになる。そのハウスドルフ次元 は、上からリアプノフ指数 によって± 0.01[16] 相関次元 は± 0.01[17] [18] [16] [19]
3
−
2
(
σ
+
β
+
1
)
σ
+
1
+
(
σ
−
1
)
2
+
4
σ
ρ
{\displaystyle 3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {\left(\sigma -1\right)^{2}+4\sigma \rho }}}}}
ローレンツアトラクターは解析が難しいが、微分方程式のアトラクターへの作用はかなり単純な幾何学モデルで記述され[20] スメイルの問題 の14番目の問題であったが、2002年にウォリック・タッカー によって初めて解決された[21]
ρ の他の値では、系は結び目のある周期的な軌道を示す。例えば、ρ =99.96T (3,2)トーラス結び目 ）となる。
さらに見る 初期値に対する鋭敏性 ...
初期値に対する鋭敏性
Time t = 1(拡大)
Time t = 2(拡大)
Time t = 3(拡大)
ρ = 28σ = 10β = 8 / 3 x 座標のみ10−5 の差がつけられている。初め、二つの軌跡は一致しているように見える（青色の上から黄色が描かれているため黄色の軌跡だけ見える）が、時間経過と共に明らかに分岐していくのがわかる。
閉じる
Mathematica によって作成されたローレンツの結果の再現。赤線より上の点は、ローブが切り替わることに相当する。ローレンツの論文[2] z 方向のそれより以前の相対最大値に対してプロットした。この手順は後にローレンツマップとして知られるようになった（軌跡と所定の曲面の交点をプロットするポアンカレプロット と混同しないように）。結果としてこのプロットはテント写像 に非常によく似た形をしており、ローレンツは、z の最大値があるカットオフ値を超えると、系が片方のローブ（軌跡上の片方の円盤）に切り替わることを発見した。これをテント写像で知られているカオスと組み合わせることで、系が2つのローブの間をカオス的に行き来することが判明した。
ローレンツ方程式の発見後高次元のローレンツモデルに関する論文が相次ぎ、一般化されたローレンツモデルが作成された[22] [23]
d
x
d
t
=
σ
(
y
−
x
)
,
d
y
d
t
=
x
(
ρ
−
z
)
−
y
,
d
z
d
t
=
x
y
−
x
y
1
−
β
z
,
d
y
1
d
t
=
x
z
−
2
x
z
1
−
d
0
y
1
,
d
z
1
d
t
=
2
x
y
1
−
4
β
z
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-xy_{1}-\beta z,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y_{1}}{\mathrm {d} t}}&=xz-2xz_{1}-d_{0}y_{1},\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z_{1}}{\mathrm {d} t}}&=2xy_{1}-4\beta z_{1}.\end{aligned}}}
他のパラメータの値によらず、d 0 = 19/3である[22] [23]
MATLAB
% Solve over time interval [0,100] with initial conditions [1,1,1]
% ''f'' is set of differential equations
% ''a'' is array containing x, y, and z variables
% ''t'' is time variable
sigma = 10 ;
beta = 8 / 3 ;
rho = 28 ;
f = @( t , a ) [ - sigma * a ( 1 ) + sigma * a ( 2 ); rho * a ( 1 ) - a ( 2 ) - a ( 1 ) * a ( 3 ); - beta * a ( 3 ) + a ( 1 ) * a ( 2 )];
[ t , a ] = ode45 ( f ,[ 0 100 ],[ 1 1 1 ]); % Runge-Kutta 4th/5th order ODE solver
plot3 ( a (:, 1 ), a (:, 2 ), a (:, 3 ))
Mathematica
標準的な記法：
tend = 50 ;
eq = { x ' [ t ] == σ ( y [ t ] - x [ t ]),
y ' [ t ] == x [ t ] ( ρ - z [ t ]) - y [ t ],
z ' [ t ] == x [ t ] y [ t ] - β z [ t ]};
init = { x [ 0 ] == 10 , y [ 0 ] == 10 , z [ 0 ] == 10 };
pars = { σ -> 10 , ρ -> 28 , β -> 8 / 3 };
{ xs , ys , zs } =
NDSolveValue [{ eq /. pars , init }, { x , y , z }, { t , 0 , tend }];
ParametricPlot3D [{ xs [ t ], ys [ t ], zs [ t ]}, { t , 0 , tend }]
冗長性を抑えたバージョン：
lorenz = NonlinearStateSpaceModel [{{ σ ( y - x ), x ( ρ - z ) - y , x y - β z }, {}}, { x , y , z }, { σ , ρ , β }];
soln [ t_ ] = StateResponse [{ lorenz , { 10 , 10 , 10 }}, { 10 , 28 , 8 / 3 }, { t , 0 , 50 }];
ParametricPlot3D [ soln [ t ], { t , 0 , 50 }]
低次元ローレンツモデルに見られるカオス的な特徴が、地球大気の特徴（気象のカオス性）を表しうることが認められている[27] [28] [29] [22] [30] [31] [29] [32]
A solution in the xz 平面で描写された高解像度のローレンツアトラクター
ローレンツ方程式での複数の軌跡のアニメーション
金属製ワイヤーで製作されたローレンツアトラクターの3Dモデル
ローレンツ系の近傍解の発散を示すアニメーション
断続的なサイクルにあるローレンツアトラクターを可視化したもの
ローレンツ系における2つの流線（ρ = 0ρ = 28σ = 10β = 8 / 3
ローレンツ系のρ
Brain Dynamics Toolboxのローレンツアトラクターのアニメーション
[34]
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7928004d58943529a7be774575a62ca436a82a7f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-xy_{1}-\beta z,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y_{1}}{\mathrm {d} t}}&=xz-2xz_{1}-d_{0}y_{1},\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z_{1}}{\mathrm {d} t}}&=2xy_{1}-4\beta z_{1}.\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c363e59f18d5689d3af72f5fdbcbc5d7f2abea)
.gif)
