数学 におけるリーマンゼータ関数 （リーマンゼータかんすう、英 : Riemann zeta function 、独 : Riemannsche zeta funktion 、中 : 黎曼泽塔函数 ）は、18世紀にバーゼル問題 を解決したレオンハルト・オイラー による（現在リーマンゼータ関数と呼ばれる）関数の特殊値に関する重要な発見から始まり、後世により重要な貢献をしたベルンハルト・リーマン が用いた ζ リーマンゼータ関数 またはリーマンのゼータ関数 とも呼ばれる。リーマンゼータ関数は、数学の分野のひとつである解析的整数論 において素数分布 の研究をはじめとした重要な研究対象であり、数論 や力学系の研究をはじめ数学や物理学などの様々な分野で用いられているゼータ関数と呼ばれる一連の関数の中でも、最も歴史的に古いものである。
複素数平面上のリーマンゼータ関数。点 s ζ (s )0 に近い。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。s = 1極 であり、実軸の負の部分および臨界線 Re s = 1/2 上の黒い点は零点 である。 19世紀を代表する数学者、ベルンハルト・リーマン 。 リーマンゼータ関数は、s 複素数 、n 自然数 とするとき、
ζ
(
s
)
:=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
=
1
+
1
2
s
+
1
3
s
+
1
4
s
+
⋯
{\displaystyle \zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }
で定義される関数 ζ s 実部 が 1 より真に大きい複素数 のとき，すなわち Re s > 1 のときに収束する（なお s = 1調和級数 となり発散する）が、解析接続 によって s = 1正則 な有理型関数 となる。
整数論 に対するリーマン予想 とその応用の重要性が際立っているため、リーマンゼータ関数に関連するトピックは依然として数学研究の中心分野として残っている。特に、エルンスト・リンデレーフ （英語版 ） ジャック・アダマール 、チャーリー・ジャン （英語版 ） ゴットフレイ・ハーディ 、ジョン・リトルウッド 、アトル・セルバーグ 、セルゲイ・ヴォロニン （ドイツ語版 ） ブライアン・コーレイ （英語版 ）
ゼータ関数の重要な特徴は素数 との関わりが深いことであり、この関係を最初に発見したオイラーにちなんでオイラー積 と名付けられた。任意の自然数は、一意の素因数分解をもつ。このため s > 1
∏
p
:prime
∑
n
p
=
0
∞
1
p
s
⋅
n
p
=
(
1
+
1
2
s
+
1
2
2
s
+
⋯
)
(
1
+
1
3
s
+
1
3
2
s
+
⋯
)
(
1
+
1
5
s
+
1
5
2
s
+
⋯
)
⋯
{\displaystyle \prod _{p{\text{:prime}}}\sum _{n_{p}=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{s\cdot n_{p}}}}={\biggl (}1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{2^{2s}}}+\cdots {\biggr )}\!{\biggl (}1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{3^{2s}}}+\cdots {\biggr )}\!{\biggl (}1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{5^{2s}}}+\cdots {\biggr )}\cdots }
を考え、右辺の括弧を展開すれば、右辺にはどのような自然数 n n − s
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
=
∏
p
:prime
∑
n
p
=
0
∞
1
p
s
⋅
n
p
=
∏
p
:prime
∑
n
p
=
0
∞
p
−
s
⋅
n
p
=
∏
p
:prime
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{:prime}}}\sum _{n_{p}=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{s\cdot n_{p}}}}=\prod _{p{\text{:prime}}}\sum _{n_{p}=0}^{\infty }p^{-s\cdot n_{p}}=\prod _{p{\text{:prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
ただし、無限積はすべての素数 p 1 より大きい複素数 s f (n )f (mn ) = f (m ) f (n )
∑
n
=
1
∞
f
(
n
)
n
s
=
∏
p
:prime
1
1
−
f
(
p
)
p
−
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{:prime}}}{\frac {1}{1-f(p)\,p^{-s}}}}
と表示される。
ゼータ関数を解析接続するためには、オイラーが導入したガンマ関数 Γ (s )Γ (s )Re (s ) > 0 となる複素数の範囲で、
Γ
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
t
t
s
−
1
d
t
{\displaystyle \varGamma (s)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,t^{s-1}\,{\rm {d}}t}
のように定義されており、ここにおいて t = nx x
Γ
(
s
)
=
∫
0
∞
n
s
e
−
n
x
x
s
−
1
d
x
{\displaystyle \varGamma (s)=\int _{0}^{\infty }n^{s}\,e^{-nx}\,x^{s-1}\,{\rm {d}}x}
から、
1
n
s
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
e
−
n
x
x
s
−
1
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\varGamma (s)}}\int _{0}^{\infty }e^{-nx}\,x^{s-1}\,{\rm {d}}x}
となる。これをゼータ関数に代入したとき、被積分関数は広義一様 に絶対収束 するため項別に積分する（極限と積分を入れ替える）ことができて、
ζ
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\varGamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}
となる。これによって、リーマンゼータ関数 ζ s )
まず、ゼータ関数が Re s > 1 のもとで絶対収束することを以下に証明する。
ゼータ関数が Re s > 1 で収束することの証明
ゼータ関数において変数を s = a + bi
n
−
s
=
n
−
a
n
−
i
b
=
n
−
a
e
−
i
b
log
n
{\displaystyle n^{-s}=n^{-a}\,n^{-ib}=n^{-a}\,e^{-ib\log n}}
である。このために | n − s | = n − a n ≤ t ≤ n + 1a > 1n − a t − a
n
−
a
≥
t
−
a
≥
(
n
+
1
)
−
a
⟺
∫
n
n
+
1
n
−
a
d
t
≥
∫
n
t
=
n
+
1
t
−
a
d
t
≥
∫
n
n
+
1
(
n
+
1
)
−
a
d
t
⟺
n
−
a
≥
∫
n
n
+
1
t
−
a
d
t
≥
(
n
+
1
)
−
a
{\displaystyle {\begin{aligned}&n^{-a}\geq t^{-a}\geq (n+1)^{-a}\\&\Longleftrightarrow \int _{n}^{n+1}n^{-a}\,{\rm {d}}t\geq \int _{n}^{t=n+1}t^{-a}\,{\rm {d}}t\geq \int _{n}^{n+1}(n+1)^{-a}\,{\rm {d}}t\\&\Longleftrightarrow n^{-a}\geq \int _{n}^{n+1}t^{-a}\,{\rm {d}}t\geq (n+1)^{-a}\end{aligned}}}
ここで n 1 から N
∫
1
N
+
1
t
−
a
d
t
≥
−
1
−
a
+
∑
n
=
1
N
+
1
n
−
a
{\displaystyle \int _{1}^{N+1}t^{-a}\,{\rm {d}}t\geq -1^{-a}+\sum _{n=1}^{N+1}n^{-a}}
さらに、
∑
n
=
1
N
+
1
n
−
a
≤
1
+
1
a
−
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{N+1}n^{-a}\leq 1+{\frac {1}{a-1}}}
であるから、左辺の級数は各項が正で上界を持つため N → ∞Re s > 1 で絶対収束 する。
前項でゼータ関数の積分表示を示した。すなわち、
ζ
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\varGamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}
である。この積分表示に対して、ベルヌーイ数 の指数型母関数 を f (x )
g
(
s
)
=
∫
0
1
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
+
∫
1
∞
x
s
−
1
e
x
−
1
d
x
{\displaystyle g(s)=\int _{0}^{1}\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x+\int _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,{\rm {d}}x}
のように記述すれば、
g
(
s
)
=
∫
0
∞
x
s
−
2
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle g(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-2}\,f(x)\,{\rm {d}}x}
であり、g (s )Re s > 1 で収束する。これに部分積分を適用すると、
g
(
s
)
=
[
x
s
−
1
s
−
1
f
(
x
)
]
0
∞
−
1
s
−
1
∫
0
∞
x
s
−
1
f
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle g(s)={\Biggl [}{\dfrac {x^{s-1}}{s-1}}\,f(x){\Biggr ]}_{0}^{\infty }-{\frac {1}{s-1}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,f'(x)\,{\rm {d}}x}
が得られる。
リーマンゼータ関数に整数を代入した際の値をリーマンゼータ値 または単にゼータ値 という。任意の正の偶数 2n に対して、
ζ
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
(
2
π
)
2
n
B
2
n
2
(
2
n
)
!
{\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}\,(2\pi )^{2n}\,B_{2n}}{2\,(2n)!}}}
と表すことができる。ここで、B 2n 2n 番目のベルヌーイ数である。
偶数に対するリーマンゼータ値の証明
余接関数 の指数関数による定義から、
π
z
cot
π
z
=
i
π
z
e
i
π
z
+
e
−
i
π
z
e
i
π
z
−
e
−
i
π
z
{\displaystyle \pi z\cot \pi z=i\pi z\,{\frac {e^{i\pi z}+e^{-i\pi z}}{e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}}}}
である。ただし、ここで i 虚数単位 である。ここで右辺は、
i
π
z
e
i
π
z
+
e
−
i
π
z
e
i
π
z
−
e
−
i
π
z
=
i
π
z
+
2
i
π
z
e
2
i
π
z
−
1
{\displaystyle i\pi z\,{\frac {e^{i\pi z}+e^{-i\pi z}}{e^{i\pi z}-e^{-i\pi z}}}=i\pi z+{\frac {2i\pi z}{e^{2i\pi z}-1}}}
であり、ベルヌーイ数の定義から、
π
z
cot
π
z
=
i
π
z
+
∑
n
=
0
∞
(
2
i
π
z
)
n
B
n
n
!
{\displaystyle \pi z\cot \pi z=i\pi z+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2i\pi z)^{n}\,B_{n}}{n!}}}
となるので、ベルヌーイ数の特殊値を利用し、
π
z
cot
π
z
=
1
+
∑
n
=
1
∞
(
2
i
π
z
)
2
n
B
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \pi z\cot \pi z=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2i\pi z)^{2n}\,B_{2n}}{(2n)!}}}
一方、正弦関数 の無限乗積 の対数 は、
log
sin
π
z
=
log
π
z
+
∑
k
=
1
∞
log
(
1
−
z
2
k
2
)
{\displaystyle \log \sin \pi z=\log \pi z+\sum _{k=1}^{\infty }\log \!{\biggl (}1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}{\biggr )}}
であり、両辺を微分 して z
π
z
cot
π
z
=
1
−
∑
k
=
1
∞
1
1
−
z
2
/
k
2
2
z
2
k
2
{\displaystyle \pi z\cot \pi z=1-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-z^{2}\!/k^{2}}}{\frac {2z^{2}}{k^{2}}}}
となるが、これをテイラー展開 して整理すると、
π
z
cot
π
z
=
1
−
2
∑
n
=
1
∞
ζ
(
2
n
)
z
2
n
{\displaystyle \pi z\cot \pi z=1-2\sum _{n=1}^{\infty }\zeta (2n)\,z^{2n}}
それぞれで導いた π zπ z
ζ
(
2
n
)
=
(
−
1
)
n
+
1
(
2
π
)
2
n
B
2
n
2
(
2
n
)
!
{\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}\,(2\pi )^{2n}\,B_{2n}}{2\,(2n)!}}}
また n ≥ 1
ζ
(
−
n
)
=
(
−
1
)
n
B
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}\,B_{n+1}\,}{\,n+1\,}}}
が成り立つ。
非負整数に対するリーマンゼータ値の証明
ハンケル によるリーマンゼータ関数の積分表示：
ζ
(
s
)
=
−
Γ
(
1
−
s
)
2
π
i
∮
C
(
−
z
)
s
−
1
e
z
−
1
d
z
{\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\varGamma (1-s)}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {(-z)^{s-1}}{e^{z}-1}}\,{\rm {d}}z}
から始める。ただし、ここで s は自然数ではない複素数で、積分路 C はハンケルの積分路 （英語版 ） n を自然数として s = − n
ζ
(
−
n
)
=
i
n
!
2
π
∮
C
1
(
−
z
)
n
+
2
−
z
e
z
−
1
d
z
{\displaystyle \zeta (-n)={\frac {in!}{2\pi }}\oint _{C}\!{\frac {1}{(-z)^{n+2}}}{\frac {-z}{e^{z}-1}}\,{\rm {d}}z}
となる。留数定理 に基づいてこの複素積分を実行すれば、
ζ
(
−
n
)
=
−
i
n
!
2
π
2
π
i
Res
(
1
(
−
z
)
n
+
2
−
z
e
z
−
1
,
0
)
{\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {in!}{2\pi }}\,2\pi i\operatorname {Res} \!{\biggl (}{\frac {1}{(-z)^{n+2}}}{\frac {-z}{e^{z}-1}},\,0{\biggr )}}
となるのでベルヌーイ数の定義から，
ζ
(
−
n
)
=
n
!
(
−
1
)
n
Res
(
∑
k
=
1
∞
B
k
k
!
z
k
−
n
−
2
,
0
)
{\displaystyle \zeta (-n)=n!\,(-1)^{n}\operatorname {Res} \!{\Biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}\,z^{k-n-2},\,0{\Biggr )}}
ここで、右辺の留数は、
Res
(
∑
k
=
1
∞
B
k
k
!
z
k
−
n
−
2
,
0
)
=
B
n
+
1
(
n
+
1
)
!
{\displaystyle \operatorname {Res} \!{\Biggl (}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{k!}}\,z^{k-n-2},\,0{\Biggr )}={\frac {B_{n+1}}{(n+1)!}}}
であるから、
ζ
(
−
n
)
=
(
−
1
)
n
B
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}\,B_{n+1}}{n+1}}}
しかるに複素数 s ζ (s ) = 0自明な零点 と呼ぶ。これらの表示はオイラーによる。具体的には、
ζ
(
0
)
=
−
1
2
{\displaystyle \zeta (0)=-{\frac {1}{2}}}
ζ
(
2
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
2
=
π
2
6
=
1.6449
…
{\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{2}}}={\pi ^{2} \over 6}=1.6449\dots }
バーゼル問題 ）
ζ
(
4
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
4
=
π
4
90
=
1.0823
…
{\displaystyle \zeta (4)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{4}}}={\pi ^{4} \over 90}=1.0823\dots }
ζ
(
6
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
6
=
π
6
945
=
1.0173
…
{\displaystyle \zeta (6)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{6}}}={\pi ^{6} \over 945}=1.0173\dots }
ζ
(
8
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
8
=
π
8
9450
=
1.00407
…
{\displaystyle \zeta (8)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{8}}}={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407\dots }
ζ
(
10
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
10
=
π
10
93555
=
1.000994
…
{\displaystyle \zeta (10)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{10}}}={\frac {\pi ^{10}}{93555}}=1.000994\dots }
ζ
(
12
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
12
=
691
π
12
638512875
=
1.000246
…
{\displaystyle \zeta (12)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{12}}}={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}=1.000246\dots }
ζ
(
14
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
14
=
2
π
14
18243225
=
1.0000612
…
{\displaystyle \zeta (14)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{14}}}={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}=1.0000612\dots }
が成り立つ。ここで、
ζ
(
2
n
)
=
η
n
π
2
n
{\displaystyle \zeta (2n)=\eta _{n}\,\pi ^{2n}}
とおくと、
η
1
=
1
6
{\displaystyle \eta _{1}={\frac {1}{6}}}
η
n
=
∑
ℓ
=
1
n
−
1
(
−
1
)
ℓ
−
1
η
n
−
ℓ
(
2
ℓ
+
1
)
!
+
(
−
1
)
n
+
1
n
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \eta _{n}=\sum _{\ell =1}^{n-1}(-1)^{\ell -1}\,{\frac {\eta _{n-\ell }}{(2\ell +1)!}}+(-1)^{n+1}\,{\frac {n}{(2n+1)!}}}
が成り立つ。この漸化式はベルヌーイ数の漸化式から導かれる。
s
{\displaystyle s}
=
2
n
+
1
,
{
n
∣
n
∈
Z
+
}
{\displaystyle =2n+1,\{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}}
B
2
n
+
1
(
x
)
{\displaystyle B_{2n+1}(x)}
ベルヌーイ多項式 である。
ζ
(
2
n
+
1
)
=
(
−
1
)
n
+
1
(
2
π
)
2
n
+
1
2
⋅
(
2
n
+
1
)
!
∫
0
1
B
2
n
+
1
(
x
)
tan
(
π
x
)
d
x
{\displaystyle \zeta (2n+1)={\dfrac {(-1)^{n+1}(2\pi )^{2n+1}}{2\cdot (2n+1)!}}\,\int _{0}^{1}{\dfrac {B_{2n+1}(x)}{\tan(\pi x)}}\,\mathrm {d} x}
またラマヌジャン などは彼が産み出した保型形式 により次のような表示式を得ている。尚、
B
n
{\displaystyle B_{n}}
ζ
(
4
n
−
1
)
=
(
2
π
)
4
n
−
1
2
∑
k
=
0
2
n
(
−
1
)
k
+
1
B
2
k
(
2
k
)
!
B
4
n
−
2
k
(
4
n
−
2
k
)
!
−
2
∑
k
=
1
∞
k
−
4
n
+
1
e
2
π
k
−
1
{\displaystyle \zeta (4n-1)={\frac {(2\pi )^{4n-1}}{2}}\sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k+1}\,{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\,{\frac {B_{4n-2k}}{(4n-2k)!}}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{-4n+1}}{e^{2\pi k}-1}}}
ζ
(
4
n
+
1
)
=
(
2
π
)
4
n
+
1
2
4
n
+
1
−
2
∑
k
=
0
2
n
+
1
(
−
1
)
k
+
1
2
2
k
B
2
k
(
2
k
)
!
B
4
n
+
2
−
2
k
(
4
n
+
2
−
2
k
)
!
−
2
4
n
+
1
2
4
n
−
1
∑
k
=
1
∞
k
−
4
n
−
1
e
π
k
+
(
−
1
)
k
{\displaystyle \zeta (4n+1)={\frac {(2\pi )^{4n+1}}{2^{4n+1}-2}}\sum _{k=0}^{2n+1}(-1)^{k+1}\,{\frac {2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}}\,{\frac {B_{4n+2-2k}}{(4n+2-2k)!}}-{\frac {2^{4n+1}}{2^{4n}-1}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{-4n-1}}{e^{\pi k}+(-1)^{k}}}}
小さい正の奇数については、
ζ
(
1
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
=
∞
{\displaystyle \zeta (1)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n}}=\infty }
調和級数 ）
ζ
(
3
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
3
=
1.20205
…
{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{3}}}=1.20205\dots }
アペリーの定数 ）
ζ
(
5
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
5
=
1.03692
…
{\displaystyle \zeta (5)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{5}}}=1.03692\dots }
ζ
(
7
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
7
=
1.00834
…
{\displaystyle \zeta (7)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{7}}}=1.00834\dots }
ζ
(
9
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
9
=
1.002008
…
{\displaystyle \zeta (9)=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{9}}}=1.002008\dots }
などが数値的に成り立っている。これらに関して、
ζ
(
3
)
=
π
2
7
{
1
−
4
∑
k
=
1
∞
ζ
(
2
k
)
(
2
k
+
1
)
(
2
k
+
2
)
2
2
k
}
{\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left\{1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)\,2^{2k}}}\right\}}
ζ
(
5
)
=
1
294
π
5
−
72
35
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
−
1
)
−
2
35
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
+
1
)
{\displaystyle \zeta (5)={\frac {1}{294}}\,\pi ^{5}-{\frac {72}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {2}{35}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}+1)}}}
ζ
(
5
)
=
1
270
π
5
−
32
15
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
π
n
+
(
−
1
)
n
)
{\displaystyle \zeta (5)={\frac {1}{270}}\,\pi ^{5}-{\frac {32}{15}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,\left(e^{\pi n}+(-1)^{n}\right)}}}
ζ
(
5
)
=
12
∑
n
=
1
∞
1
n
5
sinh
π
n
−
39
20
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
−
1
)
−
1
20
∑
n
=
1
∞
1
n
5
(
e
2
π
n
+
1
)
{\displaystyle \zeta (5)=12\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,\sinh \pi n}}-{\frac {39}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {1}{20}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}\,(e^{2\pi n}+1)}}}
ζ
(
7
)
=
19
56700
π
7
−
2
∑
n
=
1
∞
1
n
7
(
e
2
π
n
−
1
)
{\displaystyle \zeta (7)={\frac {19}{56700}}\,\pi ^{7}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{7}\,(e^{2\pi n}-1)}}}
という級数が知られている。アペリーの定理 によると ζ (3)ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11)[1] ζ (2n +1)[2]
また負の奇数に対しては代数的K理論 のK群を用いた表示がRognes-Weibelにより得られている：kを1以上の整数とすると
ζ
(
1
−
2
k
)
=
2
⋅
(
−
1
)
k
⋅
|
K
4
k
−
2
(
Z
)
|
|
K
4
k
−
1
(
Z
)
|
{\displaystyle \zeta (1-2k)=2\cdot (-1)^{k}\cdot {\dfrac {|K_{4k-2}(\mathbb {Z} )|}{|K_{4k-1}(\mathbb {Z} )|}}}
素数 との最初の関連はオイラーによって示された。リーマンゼータ関数は、全ての素数 p に関する無限積 である
ζ
(
s
)
=
∏
p
:
prime
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
という形で表すことができる。これをオイラー積 オイラー表示 という。この無限積が s の実部 Re(s ) > 1 のときゼータ関数に絶対収束していることは、幾何級数 （等比級数）の公式
1
1
−
p
−
s
=
∑
n
=
0
∞
(
p
−
s
)
n
=
1
+
p
−
s
+
p
−
2
s
+
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(p^{-s})^{n}=1+p^{\!-s}+p^{\!-2s}+\cdots }
が絶対収束すること（特に有限和のように分配法則 が成り立つこと）に注意して、十分に大きな素数 p を固定し、それ以下の素数 p をわたる有限積を作り、その
p
→
∞
{\displaystyle p\to \infty }
n の最大素因数が p であれば、そこまでの有限積の中に n が含まれるため、上のようなゼータ関数のオイラー積表示が成り立っている。オイラー積 § ゼータ関数に対するオイラー積 も参照。
２つのゼータ関数値の関係を表す、次の等式がある。
∏
p
:
prime
p
s
+
1
p
s
−
1
=
ζ
(
s
)
2
ζ
(
2
s
)
,
{
s
∣
s
∈
R
+
}
{\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}},\quad \{s\mid s\in \mathbb {R^{+}} \}}
この等式は、次の通りオイラー積に基づく単純な式変形により導かれる。
∏
p
:
prime
p
s
+
1
p
s
−
1
=
∏
p
:
prime
p
s
+
1
p
s
−
1
p
s
−
1
p
s
−
1
=
∏
p
:
prime
1
−
p
−
2
s
(
1
−
p
−
s
)
2
=
ζ
(
s
)
2
ζ
(
2
s
)
{\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}{\frac {p^{s}-1}{p^{s}-1}}=\prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {1-p^{-2s}}{(1-p^{-s})^{2}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}
この等式の発見者について、オイラー は包括的なオイラー積の生みの親であるが、ラマヌジャン はs = 2 の場合を発見していたとされる。
s = 2 の場合、等式は次の通りである。
∏
p
:
prime
p
2
+
1
p
2
−
1
=
ζ
(
2
)
2
ζ
(
4
)
=
(
π
2
6
)
2
/
(
π
4
90
)
=
5
2
{\displaystyle \prod _{p:{\text{prime}}}\!{\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}={\frac {\zeta (2)^{2}}{\zeta (4)}}=\left({\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)^{2}/\left({\frac {\pi ^{4}}{90}}\right)={\frac {5}{2}}}
s が正の偶数の場合、ゼータ関数の特殊値より、この等式の値は、ベルヌーイ数 と整数階乗のみの計算となるため、結果的に有理数となる。
ゼータ関数は次のような表示も持つ：
ζ
(
s
)
=
exp
(
γ
+
log
π
2
s
−
log
2
)
1
s
−
1
∏
ρ
(
1
−
s
ρ
)
∏
n
=
1
∞
(
1
+
s
2
n
)
e
−
s
/
2
n
{\displaystyle \zeta (s)=\exp \!\left({\frac {\gamma +\log \pi }{2}}\,s-\log 2\right){\frac {1}{s-1}}\,\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {s}{2n}}\right)e^{\!-{s/2n}}}
ここで ρ に関する積はリーマン・ゼータ関数の複素零点全体をわたるものとする。この式から、
ζ
(
s
)
−
1
s
−
1
{\displaystyle \zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}}
は整関数 であることが分かる。実際
ζ
(
s
)
−
1
s
−
1
=
γ
−
γ
1
(
s
−
1
)
+
γ
2
(
s
−
1
)
2
−
…
{\displaystyle \zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}=\gamma -\gamma _{1}(s-1)+\gamma _{2}(s-1)^{2}-\dots }
ここで γ はオイラーの定数 、γi スティルチェス定数 と呼ばれているものである。オイラーは1749年に
ζ
(
s
)
(
1
−
2
1
−
s
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
s
{\displaystyle \zeta (s)(1-{2^{\,1-s}})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}}
という式を推測している。
またゼータ関数は、リーマン の1859年の論文『与えられた数より小さい素数の個数について 』の中で
ζ
(
s
)
=
2
s
π
s
−
1
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\,\pi ^{s-1}\,\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)}
という関数等式を持つことが示された。ここで Γ はガンマ関数 である。これは複素解析的関数の解析接続 が初めて明示的に行われた例である。
s = − 2n n は正の整数）を代入すると
ζ
(
−
2
n
)
=
2
−
2
n
π
−
2
n
−
1
sin
(
−
n
π
)
Γ
(
1
+
2
n
)
ζ
(
1
+
2
n
)
{\displaystyle \zeta (-2n)=2^{-2n}\,\pi ^{\!-2n-1}\sin(-n\pi )\,\Gamma \!(1+2n)\zeta (1+2n)}
sin (− nπ ) = 0 であり他の因子は有限値なので ζ (− 2n ) = 0− 2n 次のように修正されたゼータ関数（これは実質的にリーマンによって導入され、完備化されたゼータ関数と呼ばれる）
ξ
(
s
)
=
π
−
s
/
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
{\displaystyle \xi (s)=\pi ^{\!-s/2}\,\,\Gamma \!\left({\frac {s}{2}}\right)\,\zeta (s)}
は s と 1 − s に関する以下のような対称的な関数等式を持つ：
ξ
(
s
)
=
ξ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)}
（リーマンのクシー関数 も参照。）
また、次のような重積分でも表記できる。
ζ
(
n
)
=
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
1
⋯
∫
0
1
1
1
−
x
1
x
2
x
3
⋯
x
n
d
x
1
d
x
2
d
x
3
⋯
d
x
n
{\displaystyle \zeta (n)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}{\frac {1}{1-x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}}}dx_{1}dx_{2}dx_{3}\cdots dx_{n}}
ζ
(
n
)
=
1
1
−
2
1
−
n
∫
0
1
∫
0
1
∫
0
1
⋯
∫
0
1
1
1
+
x
1
x
2
x
3
⋯
x
n
d
x
1
d
x
2
d
x
3
⋯
d
x
n
{\displaystyle \zeta (n)={\frac {1}{1-2^{1-n}}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{n}}}dx_{1}dx_{2}dx_{3}\cdots dx_{n}}
https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12796956450.html 参照
関数等式は以下のようにして求まる。ガンマ関数 の定義と変数の置き換えにより
∫
0
∞
x
s
2
e
−
n
2
π
x
d
x
x
=
Γ
(
s
2
)
n
s
π
s
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s \over 2}e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}={\Gamma \left({s \over 2}\right) \over {n^{s}\pi ^{s \over 2}}}.}
R
e
(
s
)
>
1
{\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1}
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
π
s
/
2
=
∑
n
=
1
∞
∫
0
∞
x
s
2
e
−
n
2
π
x
d
x
x
=
∫
0
∞
x
s
2
∑
n
=
1
∞
e
−
n
2
π
x
d
x
x
.
{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}{\pi ^{s/2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }x^{s \over 2}e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}=\int _{0}^{\infty }x^{s \over 2}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}\,{\frac {dx}{x}}.}
ここで
ψ
(
x
)
:=
∑
n
=
1
∞
e
−
n
2
π
x
{\displaystyle \psi (x):=\sum _{n=1}^{\infty }e^{-n^{2}\pi x}}
ζ
(
s
)
=
π
s
2
Γ
(
s
2
)
∫
0
∞
x
s
2
ψ
(
x
)
d
x
x
{\displaystyle \zeta (s)={\pi ^{s \over 2} \over \Gamma ({s \over 2})}\int \limits _{0}^{\infty }x^{\frac {s}{2}}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}}
となる。ここで
f
(
x
)
=
e
−
π
x
2
{\displaystyle f(x)=e^{-\pi x^{2}}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
^
(
y
)
=
e
−
π
y
2
{\displaystyle {\hat {f}}(y)=e^{-\pi y^{2}}}
また、フーリエ変換の定数倍の公式より、
g
(
x
)
=
f
(
a
x
)
{\displaystyle g(x)=f(ax)}
g
^
(
x
)
=
1
|
a
|
f
(
x
a
)
{\displaystyle {\hat {g}}(x)={\frac {1}{|a|}}f\left({\frac {x}{a}}\right)}
よってポアソン和公式 から以下が成り立つ。
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
n
2
π
x
=
1
x
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
n
2
π
x
{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi x}}={1 \over {\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-n^{2}\pi \over x}}}
よって
2
ψ
(
x
)
+
1
=
1
x
{
2
ψ
(
1
x
)
+
1
}
{\displaystyle 2\psi (x)+1={1 \over {\sqrt {x}}}\left\{2\psi \left({1 \over x}\right)+1\right\}}
である。よって
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
=
∫
0
1
x
s
2
ψ
(
x
)
d
x
x
+
∫
1
∞
x
s
2
ψ
(
x
)
d
x
x
{\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{1}x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}+\int _{1}^{\infty }x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}}
は以下の式と等しい。
∫
0
1
x
s
2
{
1
x
ψ
(
1
x
)
+
1
2
x
−
1
2
}
d
x
x
+
∫
1
∞
x
s
2
ψ
(
x
)
d
x
x
{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}x^{s \over 2}\left\{{1 \over {\sqrt {x}}}\psi \left({1 \over x}\right)+{1 \over 2{\sqrt {x}}}-{1 \over 2}\right\}\,{\frac {dx}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{s \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}}
つまり
1
s
−
1
−
1
s
+
∫
0
1
x
s
−
1
2
ψ
(
1
x
)
d
x
x
+
∫
1
∞
x
s
2
ψ
(
x
)
d
x
x
{\displaystyle {1 \over {s-1}}-{1 \over s}+\int \limits _{0}^{1}x^{{s-1} \over 2}\psi \left({1 \over x}\right)\,{\frac {dx}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }x^{{s} \over 2}\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}}
よって
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
=
−
1
s
(
1
−
s
)
+
∫
1
∞
(
x
1
−
s
2
+
x
s
2
)
ψ
(
x
)
d
x
x
{\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=-{1 \over {s({1-s})}}+\int \limits _{1}^{\infty }\left({x^{{1-s} \over 2}+x^{{s} \over 2}}\right)\psi (x)\,{\frac {dx}{x}}}
この式はすべての
s
{\displaystyle s}
s
{\displaystyle s}
1
−
s
{\displaystyle 1-s}
π
−
s
2
Γ
(
s
2
)
ζ
(
s
)
=
π
−
1
−
s
2
Γ
(
1
−
s
2
)
ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \pi ^{-{s \over 2}}\Gamma \left({s \over 2}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)}
ガンマ関数の乗法公式 および相反公式 より
Γ
(
1
−
s
2
)
Γ
(
s
2
)
=
Γ
(
1
−
s
2
)
Γ
(
1
−
s
2
)
Γ
(
s
2
)
Γ
(
1
−
s
2
)
=
2
s
π
1
2
Γ
(
1
−
s
)
⋅
sin
(
π
s
2
)
π
=
2
s
π
−
1
2
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {s}{2}}\right)}}=2^{s}\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma (1-s)\cdot {\frac {\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}{\pi }}=2^{s}\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)}
よって
ζ
(
s
)
=
2
s
π
s
−
1
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
ζ
(
1
−
s
)
{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\,\pi ^{s-1}\,\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)}
ゼータ関数を適当に組み合わせることにより、様々な数論的関数を係数とするディリクレ級数 の母関数を得ることができる。
たとえば、ゼータ関数の逆数 はメビウス関数 μ (n )
1
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}
と表せる。この式と ζ (2)一様 であるという仮定の下、任意に取り出した2つの整数が互いに素 である確率 は
6
π
2
{\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}
自然数 n の（正の）約数 の個数と全ての約数の和は、どちらも約数関数 として定義され、それぞれ、d (n )σ (n )
ζ
(
s
)
2
=
∑
n
=
1
∞
d
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\zeta (s)}^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}}
ζ
(
s
)
ζ
(
s
−
1
)
=
∑
n
=
1
∞
σ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\zeta (s)}\,{\zeta (s-1)}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n^{s}}}}
が成り立ち、また、n と互いに素な n 以下の自然数の個数を
オイラーのφ関数 φ (n )
ζ
(
s
−
1
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
n
s
{\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}
なども成り立つ。
以下に素数分布、すなわち素数計数関数 π(x ) とゼータ関数との関係を述べる。
まずゼータ関数のオイラー積表示の両辺において対数をとり、テイラー展開 で和の中の対数を展開する：
log
ζ
(
s
)
=
log
∏
p
1
1
−
p
−
s
=
∑
p
log
1
1
−
p
−
s
=
∑
p
∑
n
=
1
∞
1
n
p
n
s
=
∑
n
=
1
∞
1
n
∑
p
1
p
n
s
{\displaystyle \log \zeta (s)=\log \prod _{p}{\frac {1}{1-p^{\!-s}}}=\sum _{p}\log {\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{p}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{np^{\,ns}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}}
ここで各 n ≥ 1
1
p
n
s
=
s
∫
p
n
∞
x
−
s
−
1
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx}
と変形して、先の式に代入すると
log
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
∑
p
1
p
n
s
=
s
∑
n
=
1
∞
1
n
∑
p
∫
p
n
∞
x
−
s
−
1
d
x
=
s
∑
n
=
1
∞
1
n
∫
1
∞
π
(
x
1
/
n
)
x
−
s
−
1
d
x
{\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}{\frac {1}{p^{\,ns}}}=s\!\sum _{n=1}^{\infty }\!{\frac {1}{n}}\,\sum _{p}\!\int _{p^{n}}^{\infty }\!\!x^{\!-s-1}\,dx=s\!\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\int _{1}^{\infty }\!\!\pi (x^{1/n})\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x}
通常
Π
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
π
(
x
1
/
n
)
{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,\pi (x^{1/n})}
と置いて、最終的に上式は次のように書かれる。
log
ζ
(
s
)
s
=
∫
1
∞
Π
(
x
)
x
−
s
−
1
d
x
{\displaystyle {\frac {\log \zeta (s)}{s}}=\int _{1}^{\infty }\!\!\Pi (x)\,x^{\!-s-1}\,\mathrm {d} x}
この公式に、メリン変換 などと呼ばれる積分の反転公式を使うと、π(x ) を表示する公式を求めることができる。この公式は、リーマンの素数公式 、あるいは明示公式 (explicit formula ) などと呼ばれている。なおメビウスの反転公式によって π(x ) は
π
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
Π
(
x
1
/
n
)
{\displaystyle \pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\,\Pi (x^{1/n})}
と書けることを注意しておこう。
ゼータ関数の零点の分布に関する未解決問題 であるリーマン予想 は、素数公式の近似精度に関連している。この予想は純粋数学における最も重要な未解決問題であると考える数学者は多い。
Rivoal, T. (2000). “La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique 331 : 267–270. arXiv :math/0008051 . doi :10.1016/S0764-4442(00)01624-4 .
本橋洋一『解析的整数論 』1 (素数分布論)、朝倉書店〈朝倉数学大系 ; 1〉、2009年。ISBN 978-4-254-11821-6 。国立国会図書館書誌ID :000010611029 。https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I000010611029 。 Motohashi, Yoichi, "Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function". Cambridge University Press, 1997. ISBN 9780521445207
Harold M. Edwards, Riemann's Zeta Function , Dover Publications, 2001. ISBN 0486417409
E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function , Oxford University Press: USA, 2nd ed. (rev. by D. R. Heath-Brown), 1987. ISBN 0198533691
日本数学会 『岩波数学辞典（第3版）』 岩波書店、1985年。ISBN 4000800167
松本耕二 『リーマンのゼータ関数』 朝倉書店、2005年。ISBN 4254117310 小山信也 『素数とゼータ関数』 共立出版、2015年。ISBN 9784320112001 
![[icon]](#/media/ファイル:Wiki_letter_w_cropped.svg){kind=small}
![{\displaystyle g(s)={\Biggl [}{\dfrac {x^{s-1}}{s-1}}\,f(x){\Biggr ]}_{0}^{\infty }-{\frac {1}{s-1}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\,f'(x)\,{\rm {d}}x}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fe3c89274dfb1b7abaa74c271cc0bb5aa3b33d)
