セルバーグゼータ函数

セルバーグゼータ函数(Selberg zeta-function)は、アトル・セルバーグAtle Selberg (1956) により導入された。有名なリーマンゼータ函数

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

の類似で、ここに ${\displaystyle \mathbb {P} }$ は素数の集合を表す。セルバーグゼータ函数は、素数の代わりに単純な閉測地線の長さを使う。${\displaystyle \Gamma }$ を SL(2,R) の部分群とすると、セルバーグゼータ函数は次のように定義される。

${\displaystyle \zeta _{\Gamma }(s)=\prod _{p}(1-N(p)^{-s})^{-1},}$

あるいは、

${\displaystyle Z_{\Gamma }(s)=\prod _{p}\prod _{n=0}^{\infty }(1-N(p)^{-s-n}),}$

ここに p は素な合同類全体を渡り、 N(p) は合同類 p のノルムで、p のより大きい固有値の二乗である。

有限領域を持つ双曲曲面に対して、セルバーグゼータ函数が付帯している。この函数は複素平面上の有理型函数である。このゼータ函数は、曲面上の閉じた測地線の言葉で定義される。

セルバーグゼータ函数 Z(s) のゼロ点と極は、曲面のスペクトルのデータの言葉で記述することができる。

ゼロ点は次のような点である。

1. 固有値 ${\displaystyle s_{0}(1-s_{0})}$ を持つ全てのカスプ形式に対し、点 ${\displaystyle s_{0}}$ にゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、対応する固有空間の次元に等しい。（カスプ形式とは、定数項がゼロのフーリエ展開を持つラプラス・ベルトラミ作用素の固有函数である。）
2. ゼータ函数は散乱行列 ${\displaystyle \phi (s)}$ の行列式の全ての極でゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、散乱行列の対応する極のオーダーに等しい。

ゼータ函数は、${\displaystyle 1/2-\mathbb {N} }$ で極をもち、点 ${\displaystyle -\mathbb {N} }$ で、極、もしくはゼロ点を持つ。

伊原のゼータ函数は、セルバーグゼータ函数の p-進類似（グラフ理論的な類似）と考えられている。

モジュラ群のセルバーグゼータ函数

${\displaystyle \Gamma }$ をモジュラ群として、曲面が ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$ である場合には、セルバーグゼータ函数は、特に興味が持たれる。この特別な場合は、セルバーグゼータ函数が密接にリーマンゼータ函数と結びついているからである。

この場合は、散乱行列の行列式が次で与えられる。

${\displaystyle \varphi (s)=\pi ^{1/2}{\frac {\Gamma (s-1/2)\zeta (2s-1)}{\Gamma (s)\zeta (2s)}}.}$

特に、リーマンゼータ函数が ${\displaystyle s_{0}}$ でゼロ点を持つと、散乱行列の行列式は ${\displaystyle s_{0}/2}$ で極をもつので、セルバーグゼータ函数は ${\displaystyle s_{0}/2}$ でゼロ点を持つ。

参考文献

• Fischer, Jürgen (1987), An approach to the Selberg trace formula via the Selberg zeta-function, Lecture Notes in Mathematics, 1253, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0077696, ISBN 978-3-540-15208-8, MR892317
• Hejhal, Dennis A. (1976), The Selberg trace formula for PSL(2,R). Vol. I, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 548, 548, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0079608, MR0439755
• Hejhal, Dennis A. (1983), The Selberg trace formula for PSL(2,R). Vol. 2, Lecture Notes in Mathematics, 1001, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0061302, ISBN 978-3-540-12323-1, MR711197
• Iwaniec, H. Spectral methods of automorphic forms, American Mathematical Society, second edition, 2002.
• Selberg, Atle (1956), “Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series”, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 20: 47–87, MR0088511
• Venkov, A. B. Spectral theory of automorphic functions. Proc. Steklov. Inst. Math, 1982.
• Sunada, T., L-functions in geometry and some applications, Proc. Taniguchi Symp. 1985, "Curvature and Topology of Riemannian Manifolds", Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266-284.