総乗

総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。

定義

結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a₁, a₂, …, a_n の総乗を

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}}$

などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。

有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (x_i)_i∈I 」とすることができる。この列の総乗を

${\displaystyle \prod E=\prod _{x\in E}x=\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}}$

などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1_M を持つとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1_M であるとする。（空積も参照）

${\displaystyle \prod \emptyset =\prod _{x\in \emptyset }x=1_{M}}$

積が非結合的な場合

積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a₁ × a₂ × … × a_n という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。

• ${\displaystyle p_{1}=a_{1},}$
• ${\displaystyle p_{k+1}=p_{k}\times a_{k+1}}$

このとき、${\displaystyle p_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}}$ と書くことにすると、

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=(\cdots ((a_{1}\times a_{2})\times a_{3})\times \cdots \times a_{n})}$

の意味になる。このようなものはあまり応用がない。

無限乗積

総和と同様に、可算無限列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}}$ の総乗

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}$

を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。

定義

実数や複素数からなる可算列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}}$ の無限乗積を定義する。無限乗積 ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ が収束するとは2条件

• ある番号 m から先では常に x_n ≠ 0 (n > m)^[1]
• 部分積 p_n := x_m+1 … x_n (n > m) がゼロでない値 P_m に n → ∞ の極限で収束する

が成り立つことをいう^[2][3]。無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ が収束するとき、その値を

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}\dotsb x_{m}P_{m}}$

と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、lim_n→∞ x_n = 1 が成り立つ^[4]。

また数列 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}}$ に対して無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+\vert x_{n}\vert )}$ が収束するとき、無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})}$ は絶対収束するという^[5][3]。無限乗積 ${\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})}$ が絶対収束するのは無限級数 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ が絶対収束するとき、かつそのときに限る^[6][3]。

例

三角関数の無限乗積展開^[3]

${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}$

${\displaystyle \sinh \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \cosh \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}}$

ウォリス積^[7][8]

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}}$

オイラー乗積

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

ガンマ関数^[3][9][10]

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}:=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m},\quad \gamma$ :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)}

(${\displaystyle \gamma }$はオイラーの定数である)^[3][9]。

qポッホハマー記号 ^[11][12][13]。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),\quad |q|<1,\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}.\\\end{aligned}}}$

qガンマ関数^[12][13][14]

${\displaystyle \Gamma _{q}(x):=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}},\quad |q|<1.}$

行列を使ってqガンマ関数を定義することもできる^[15]。

注

1. つまり、有限個の例外を除いて数列の値はゼロでない。
2. Konrad 1956, p. 93, Definition 3.7.1.
3. 神保道夫、複素関数入門、岩波書店。
4. Konrad 1956, p. 93, Theorem 3.7.2.
5. Konrad 1956, p. 96.
6. Konrad 1956, p. 96, Theorem 3.7.6.
7. Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Wallis Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html
8. A proof of the Wallis product formula, Takuya Ooura
9. 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版。
10. Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
11. Wolfram Mathworld: q-Pochhammer Symbol
12. Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (2000). Special functions. Cambridge university press.
13. Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. Cambridge university press.
14. Weisstein, Eric W. "q-Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/q-GammaFunction.html
15. Salem, A. (2012). On a ${\displaystyle q}$-gamma and a ${\displaystyle q}$-beta matrix functions. Linear and Multilinear Algebra, 60(6), 683-696.

参考文献

• Konrad, K. (1956). Infinite Sequences and Series. Dover. MR79110. Zbl 0070.05807. https://books.google.co.jp/books?id=u4QUAwAAQBAJ

関連項目

• 総和
• 因数定理
• 階乗
• 超階乗