有効領域

数学の一分野である凸解析において、有効領域（ゆうこうりょういき、英: effective domain）は、定義域の概念を拡張したものである。

ベクトル空間 X が与えられたとき、拡大実数を値域とする凸函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ は、次で定義される有効領域を持つ：

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:f(x)<+\infty \}.\,}$^[1][2]

この函数が凹函数である場合、有効領域は次のようになる：

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:f(x)>-\infty \}.\,}$^[1]

有効領域は、函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ のエピグラフの X の上への射影と等しい。すなわち、次で与えられる。

${\displaystyle \operatorname {dom} f=\{x\in X:\exists y\in \mathbb {R}$ :(x,y)\in \operatorname {epi} f\}.\,} ^[3]

凸函数が通常の実数への写像 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ であるなら、有効領域は通常の定義域と一致する。

函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$ が真凸函数であるための必要十分条件は、f が凸で、f の有効領域が空でなく、すべての ${\displaystyle x\in X}$ に対して ${\displaystyle f(x)>-\infty }$ が成立することである^[3]。

参考文献

1. Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 254. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0
2. Föllmer, Hans; Schied, Alexander (2004). Stochastic finance: an introduction in discrete time (2 ed.). Walter de Gruyter. p. 400. ISBN 978-3-11-018346-7
3. Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 23. ISBN 978-0-691-01586-6