ラマヌジャンのタウ関数 （ラマヌジャンのタウかんすう）は， Ramanujan (1916 )τ N → Z
∑
n
≥
1
τ
(
n
)
q
n
=
q
∏
n
≥
1
(
1
−
q
n
)
24
=
η
(
z
)
24
=
Δ
(
z
)
,
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}=\eta (z)^{24}=\Delta (z),}
ただし Im z > 0 なる z に対し q = exp(2π izη デデキントのイータ関数 であり，関数 Δ (z )ラマヌジャンのデルタ関数 と呼ばれる，ウェイト12，レベル1の正則 尖点形式 である．それは整数を24個の平方数の和として表す方法が何通りあるか、数えるときの「誤差項」に関連して現れる．イアン・G・マクドナルド （英語版 ） Dyson (1972) において与えられた．
対数スケールでの n < 16,000| τ n )| 121 の倍数であるような n の値だけを拾い出している．
タウ関数の最初のいくつかの値は以下の表で与えられる（オンライン整数列大辞典 の数列 A000594 ）：
さらに見る n, τ(n) ...
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
τ n )1 −24 252 −1472 4830 −6048 −16744 84480 −113643 −115920 534612 −370944 −577738 401856 1217160 987136
閉じる
Ramanujan (1916) は τ n )
τ mn ) = τ m )τ n )gcd(m , n ) = 1 のとき成り立つ（つまり τ 乗法的関数 である）．τ p r + 1τ p )τ p r p 11 τ p r − 1p が素数で r > 0| τ p )| ≤ 2p 11/2 素数 p に対して成り立つ．最初の2つの性質は Mordell (1917) によって証明され，ラマヌジャン予想 と呼ばれる3つ目は，Deligne により1974年にヴェイユ予想 の彼の証明の結果として証明された（具体的には，彼はヴェイユ予想をクガ・サトウ多様体に適用することによって証明した）．
k ∈ Z n ∈ Z > 0σ k n )n の約数の k 乗の和として定義する．タウ関数はいくつかの合同式を満たし，その多くが σ k n )[1]
τ
(
n
)
≡
σ
11
(
n
)
mod
2
11
for
n
≡
1
mod
8
{\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{11}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}8}
[2]
τ
(
n
)
≡
1217
σ
11
(
n
)
mod
2
13
for
n
≡
3
mod
8
{\displaystyle \tau (n)\equiv 1217\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{13}{\text{ for }}n\equiv 3\ {\bmod {\ }}8}
[2]
τ
(
n
)
≡
1537
σ
11
(
n
)
mod
2
12
for
n
≡
5
mod
8
{\displaystyle \tau (n)\equiv 1537\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{12}{\text{ for }}n\equiv 5\ {\bmod {\ }}8}
[2]
τ
(
n
)
≡
705
σ
11
(
n
)
mod
2
14
for
n
≡
7
mod
8
{\displaystyle \tau (n)\equiv 705\sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}2^{14}{\text{ for }}n\equiv 7\ {\bmod {\ }}8}
[2]
τ
(
n
)
≡
n
−
610
σ
1231
(
n
)
mod
3
6
for
n
≡
1
mod
3
{\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{6}{\text{ for }}n\equiv 1\ {\bmod {\ }}3}
[3]
τ
(
n
)
≡
n
−
610
σ
1231
(
n
)
mod
3
7
for
n
≡
2
mod
3
{\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-610}\sigma _{1231}(n)\ {\bmod {\ }}3^{7}{\text{ for }}n\equiv 2\ {\bmod {\ }}3}
[3]
τ
(
n
)
≡
n
−
30
σ
71
(
n
)
mod
5
3
for
n
≢
0
mod
5
{\displaystyle \tau (n)\equiv n^{-30}\sigma _{71}(n)\ {\bmod {\ }}5^{3}{\text{ for }}n\not \equiv 0\ {\bmod {\ }}5}
[4]
τ
(
n
)
≡
n
σ
9
(
n
)
mod
7
for
n
≡
0
,
1
,
2
,
4
mod
7
{\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7{\text{ for }}n\equiv 0,1,2,4\ {\bmod {\ }}7}
[5]
τ
(
n
)
≡
n
σ
9
(
n
)
mod
7
2
for
n
≡
3
,
5
,
6
mod
7
{\displaystyle \tau (n)\equiv n\sigma _{9}(n)\ {\bmod {\ }}7^{2}{\text{ for }}n\equiv 3,5,6\ {\bmod {\ }}7}
[5]
τ
(
n
)
≡
σ
11
(
n
)
mod
691.
{\displaystyle \tau (n)\equiv \sigma _{11}(n)\ {\bmod {\ }}691.}
[6] 素数 p ≠ 23[1] [7]
τ
(
p
)
≡
0
mod
23
if
(
p
23
)
=
−
1
{\displaystyle \tau (p)\equiv 0\ {\bmod {\ }}23{\text{ if }}\left({\frac {p}{23}}\right)=-1}
τ
(
p
)
≡
σ
11
(
p
)
mod
23
2
if
p
is of the form
a
2
+
23
b
2
{\displaystyle \tau (p)\equiv \sigma _{11}(p)\ {\bmod {\ }}23^{2}{\text{ if }}p{\text{ is of the form }}a^{2}+23b^{2}}
[8]
τ
(
p
)
≡
−
1
mod
23
otherwise
.
{\displaystyle \tau (p)\equiv -1\ {\bmod {\ }}23{\text{ otherwise}}.}
f はウェイト k の integer newform でありフーリエ係数 a (n )f が虚数乗法 をもたないとき，ほとんどすべての素数 p は
a
(
p
)
≠
0
mod
p
{\displaystyle a(p)\neq 0{\bmod {p}}}
p と互いに素な n に対して a (n ) mod p a (p ) mod p p に対して a (p ) = 00 mod p であることを保証する．無限個の素数 p に対して a (p ) ≠ 0 mod p > 2 の虚数乗法を持たない f の例は知られていない（ほとんどすべての p に対しては正しいのであるが）．無限個の p に対して a (p ) = 0 mod p p に対して a (p ) = 0 mod p 12 の）ラマヌジャンの τ p )τ p ) = 0 mod p p は p = 7758337633τ p ) ≡ 0 mod p 1010 まででは p = 23 , 5 , 7 , 2411 , 7758337633 のみである[9]
Lehmer (1947) はすべての n に対して τ n ) ≠ 0n < 214928639999 22)．次の表はこの条件がいくつまでの n について成り立つかの進展をまとめたものである．
さらに見る n, 文献 ...
n 文献
3316799 Lehmer (1947)
214928639999 Lehmer (1949)
1015 Serre (1973, p. 98), Serre (1985)
1213229187071998 Jennings (1993)
22689242781695999 Jordan and Kelly (1999)
22798241520242687999 Bosman (2007)
982149821766199295999 Zeng and Yin (2013)
816212624008487344127999 Derickx, van Hoeij, and Zeng (2013)
閉じる
Due to J.-P. Serre 1968, Section 4.5
Apostol, T. M. (1997), “Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory”, New York: Springer-Verlag 2nd ed. Ashworth, M. H. (1968), Congruence and identical properties of modular forms (D. Phil. Thesis, Oxford) Dyson, F. J. (1972), “Missed opportunities”, Bull. Amer. Math. Soc. 78 (5): 635-652, doi :10.1090/S0002-9904-1972-12971-9 , Zbl 0271.01005 Kolberg, O. (1962), “Congruences for Ramanujan's function τ(n )”, Arbok Univ. Bergen Mat.-Natur. Ser. (11), MR 0158873 , Zbl 0168.29502 Lehmer, D.H. (1947), “The vanishing of Ramanujan’s function τ(n)”, Duke Math. J. 14 : 429–433, doi :10.1215/s0012-7094-47-01436-1 , Zbl 0029.34502 Lygeros, N. (2010), “A New Solution to the Equation τ(p) ≡ 0 (mod p)” , Journal of Integer Sequences 13 : Article 10.7.4, http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Lygeros/lygeros5.pdf Mordell, Louis J. (1917), “On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.” , Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 19 : 117–124, JFM 46.0605.01 , https://archive.org/stream/proceedingsofcam1920191721camb#page/n133 Newman, M. (1972), “A table of τ (p) modulo p, p prime, 3 ≤ p ≤ 16067”, National Bureau of Standards. Rankin, Robert A. (1988), “Ramanujan's tau-function and its generalizations” , in Andrews, George E., Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987) , Boston, MA: Academic Press , pp. 245–268, ISBN 978-0-12-058560-1 , MR 938968 , https://books.google.co.jp/books?id=GJUEAQAAIAAJ&redir_esc=y&hl=ja Ramanujan, Srinivasa (1916), “On certain arithmetical functions”, Trans. Cambridge Philos. Soc. 22 (9): 159–184, MR 2280861 Serre, J-P. (1968), “Une interprétation des congruences relatives à la fonction
τ
{\displaystyle \tau }
, Séminaire Delange-Pisot-Poitou 14 , http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1967-1968__9_1_A13_0 Swinnerton-Dyer, H. P. F. (1973), “On ℓ-adic representations and congruences for coefficients of modular forms” , in Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre , Modular functions of one variable, III , Lecture Notes in Mathematics, 350 , pp. 1–55, ISBN 978-3-540-06483-1 , MR 0406931 , http://www.springerlink.com/content/978-3-540-06483-1 Wilton, J. R. (1930), “Congruence properties of Ramanujan's function τ(n )”, Proceedings of the London Mathematical Society 31 : 1–10, doi :10.1112/plms/s2-31.1.1 
