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ミルナーのK-理論(Milnor K-theory)は、高次代数的K-理論を定義する初期の試みであり、 Milnor (1970) により導入された。
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体 F の K2 の計算により、ミルナーは「高次」K-群の次の定義を発見した。
このように、a ≠ 0, 1 により生成された両側イデアル(two-sided ideal)による乗法群 F× のテンソル代数の商の次数付き部分である。n = 0, 1, 2 に対しては、これらは体のキレン(Quillen)の K-群に一致するが、n ≧ 3 に対しては一般には同値にならない。記号 を の像として定義すると、n = 2 は、シュタインバーグの記号(Steinberg symbol)である[1]。
テンソル代数のテンソル積は、 を次数付き可換(graded-commutative)である次数付き環とする積 を導く[2]。
例えば、n ≧ 2; に対し、である。 は一意な非可算剰余群であり、 は一意的な非可算剰余群と位数 2 の巡回群の直和である。 は の乗法群と非可算な剰余群の直和である。すべての奇素数 に対し、位数 の巡回群と位数 2 の巡回群の直和である。
ミルナーのK-理論は、高次類体論で基本的な役割を果たし、1-次元類体論では、 を変更する。
ミルナーのK-理論 modulo 2 は、k*(F) と書かれ、ミルナー予想により、体 F のエタールコホモロジーとガロアコホモロジーへ関連付けられる。この事実はウラジーミル・ヴォエヴォドスキーにより証明された。 ミルナー予想の一般化であるブロック・加藤の予想(ノルム剰余同型定理)は、ヴォエヴォドスキーにより証明された。この証明にはマーカス・ロストらの結果が重要な役割を果たしている[3]。
次のように記号を使うと、kn(F) から F のヴィット環(Witt ring)への準同型が存在する。
ここに像は、次元 2n のフィスター形式(Pfister form)である[1]。像は In/In+1 としてとることが可能で、写像はフィスター形式が加法的に In を生成するので全射である[4]。ミルナー予想は、これらの写像は同型であるということと解釈することができる。
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