ベル多項式

組合せ数学におけるベル多項式（ベルたこうしき、英: Bell polynomials）とは、エリック・テンプル・ベルの名に因む、次の多項式で与えられる三角形配列のことである。

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

${\displaystyle$ :=\sum {\frac {n!}{\prod \limits _{i=1}^{n-k+1}j_{i}!}}\prod _{i=1}^{n-k+1}{\left({\frac {x_{i}}{i!}}\right)^{j_{i}}}}

ただしこの和は、

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-k+1}j_{i}=k\land \sum _{i=1}^{n-k+1}ij_{i}=n}$

を満たすすべての非負整数の列 j₁, j₂, j₃, …, j_n−k+1 について取られている。

完全ベル多項式

次の和

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

はしばしば n 次完全ベル多項式と呼ばれる。それらと比較するために、上で定義された多項式 B_n,k はしばしば「部分」ベル多項式と呼ばれる。

完全ベル多項式は次の等式を満たす。

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&{n-1 \choose 4}x_{5}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&{n-2 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&{n-3 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&{n-4 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\0&0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-5}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}.}$

組合せ論的な意味

例

例えば、次が得られる。

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}.}$

なぜならば

6 の集合を 5 + 1 に分割する方法は 6 通り

6 の集合を 4 + 2 に分割する方法は 15 通り

6 の集合を 3 + 3 に分割する方法は 10 通り

だからである。同様に

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}$

が得られる。なぜならば

6 の集合を 4 + 1 + 1 に分割する方法は 15 通り

6 の集合を 3 + 2 + 1 に分割する方法は 60 通り

6 の集合を 2 + 2 + 2 に分割する方法は 15 通り

だからである。

性質

• ${\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\dots ,(n-k+1)!)={\binom {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}(n-k)!}$

スターリング数

ベル多項式 B_n,k(x₁,x₂, …) のすべての x が 1 に等しいときの値は、第二種スターリング数である。すなわち

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots )=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}}$

である。

畳み込みの等式

数列 x_n, y_n, n = 1, 2, …, に対し、ある種の畳み込みを次のように定める。

${\displaystyle (x\diamondsuit y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}}$.

ここで直和の上下限は 0 と n ではなく、1 と n− 1 であることに注意されたい。

${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }\,}$ を次の列の第 n 番目の項とする。

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x\diamondsuit \cdots \diamondsuit x} _{k\ \mathrm {factors} }.}$

このとき、次が成り立つ。

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}$

例えば、${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})}$ を計算する。このとき

${\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x\diamondsuit x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x\diamondsuit x\diamondsuit x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )}$

であるため、

${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x\diamondsuit x\diamondsuit x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}}$

となる。

ベル多項式の応用

ファー・ディ・ブルーノの公式

→詳細は「ファー・ディ・ブルーノの公式」を参照

ベル多項式を用いることで、ファー・ディ・ブルーノの公式（英語版）は次のように書き表すことができる。

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

同様に、冪級数版のファー・ディ・ブルーノの公式も、ベル多項式を用いて次のように表すことができる。今

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad \mathrm {and} \qquad g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}$

とすれば、

${\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1}) \over n!}x^{n}}$

となる。特に、完全ベル多項式は、形式的冪級数の指数関数の中に、次のように現れる。

${\displaystyle \exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n}.}$

モーメントとキュムラント

次の和

${\displaystyle B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})}$

は、初めの n 個のキュムラントが κ₁, …, κ_n であるような確率分布の n 次モーメントである。言い換えると、n 次モーメントとは初めの n 個のキュムラントによって評価される n 次完全ベル多項式である。

二項型の多項式列による表現

任意のスカラー列 a₁, a₂, a₃, … に対し、次を定める。

${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.}$

このとき、この多項式列は二項型多項式列である。すなわち、二項等式

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$

が n ≥ 0 に対して成立する。実際、次の結果が得られる。

定理 すべての二項型の多項式列はこの形式で表現できる。

今

${\displaystyle h(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}$

とすれば、冪級数を純粋に形式的に取ることで、すべての n に対し

${\displaystyle h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x)}$

が成り立つ。

ソフトウェア

• ベル多項式、完全ベル多項式および一般化ベル多項式は、Mathematicaにおいては BellY^[1] で、Maple においては BellB^[2] で、Sage においては bell_polynomial^[3] で計算することができる。

脚注

[脚注の使い方]

1. BellY
2. BellB
3. bell_polynomial

関連項目

• カーレマン行列
• 指数関数型公式（英語版）

参考文献

• Eric Temple Bell (1927–1928). “Partition Polynomials”. Annals of Mathematics 29 (1/4): 38-46. doi:10.2307/1967979. JSTOR 1967979. MR1502817.
• Louis Comtet (1974). Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. Dordrecht, Holland / Boston, U.S.: Reidel Publishing Company
• Steven Roman. The Umbral Calculus. Dover Publications
• Vassily G. Voinov, Mikhail S. Nikulin (1994). “On power series, Bell polynomials, Hardy-Ramanujan-Rademacher problem and its statistical applications”. Kybernetika 30 (3): 343-358. ISSN 00235954.
• en:George Andrews (mathematician) (1998). The Theory of Partitions. Cambridge Mathematical Library (1st pbk ed.). Cambridge University Press. pp. 204-211. ISBN 0-521-63766-X
• Silvia Noschese, Paolo E. Ricci (2003). “Differentiation of Multivariable Composite Functions and Bell Polynomials”. Journal of Computational Analysis and Applications 5 (3): 333-340. doi:10.1023/A:1023227705558.
• Abbas, Moncef; Bouroubi, Sadek (2005). “On new identities for Bell's polynomial”. Disc. Math (293): 5-10. doi:10.1016/j.disc.2004.08.023. MR2136048.
• Khristo N. Boyadzhiev (2009). “Exponential Polynomials, Stirling Numbers, and Evaluation of Some Gamma Integrals”. Abstract and Applied Analysis 2009: Article ID 168672. doi:10.1155/2009/168672. (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
• V. V. Kruchinin (2011). "Derivation of Bell Polynomials of the Second Kind". arXiv:1104.5065。
• Griffiths, Martin (2012). “Families of sequences from a class of multinomial sums”. Journal of Integer Sequences 15. MR2872465. http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Griffiths/griffiths20.html.

Faà di Bruno の公式（ファー・ディ・ブルーノの公式）については、たとえば

• 山中健：「合成関数の高階微分の公式について」 (PDF)
• 岡野節, 奥戸雄二, 清水昭信, 新倉保夫, 橋本佳明, 山田浩「Faa di Brunoの公式とその応用(1)」『Annual review』第5巻、名古屋市立大学、2001年3月、35-44頁、CRID 1050001337543424256、ISSN 1342-9329。