ディガンマ関数

この項目では、ガンマ関数の対数微分で定義されるディガンマ関数（digamma function）について説明しています。多重ガンマ関数（multiple gamma function）の一種である二重ガンマ関数（double gamma function）については「多重ガンマ関数」をご覧ください。

数学において、ディガンマ関数（でぃがんまかんすう、英: digamma function）あるいはプサイ関数（ぷさいかんすう、英: psi function）とはガンマ関数の対数微分で定義される特殊関数^[1]。ポリガンマ関数の一種である。

実数x に対するψ(x)の挙動

複素平面上でのψ(z )。点z における色が ψ(z) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表す。

定義

ガンマ関数 ${\displaystyle \Gamma (z)}$ に対し、その対数微分

${\displaystyle \psi (z)={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln {\Gamma (z)}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$

をディガンマ関数と呼ぶ。

ディガンマ関数は、${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots (z\in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z} ^{+})}$ で一位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

基本的性質

ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {z(z+1)\cdots (z+n)}{n^{z}n!}}}$

を対数微分することで、ディガンマ関数における

${\displaystyle \psi (z)=\lim _{n\to \infty }\left\{\ln {n}-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{z+k}}\right\}}$

という表示を得る。特に ${\displaystyle z=1}$とすれば、次の特殊値

${\displaystyle \psi (1)=\lim _{n\to \infty }\left\{\ln {n}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right\}=-\gamma }$

を得る。但し、${\displaystyle \gamma =0.5772\ldots }$ はオイラーの定数である。

また、ディガンマ関数は次の漸化式を満たす^[2]。

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

この関係式から、一般に

${\displaystyle \psi (z+n)=\psi (z)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{z+k-1}}}$

であり、特に ${\displaystyle z=1}$とすれば、特殊値

${\displaystyle \psi (n+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$

が得られる。

級数表示

ディガンマ関数とその導関数は ${\displaystyle z\neq 0,-1,-2,-3,\ldots (z\in \mathbb {C} \setminus \{0,\mathbb {Z} ^{-}\})}$ で次の級数表示を持つ。

${\displaystyle \psi (z)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{z+n}}-{\frac {1}{n+1}}{\biggr )}=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(z+n)}}}$

${\displaystyle \psi ^{(k)}(z)=(-1)^{k+1}k\,!\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{k+1}}}}$

これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl (}1+{\frac {z}{n}}{\biggr )}e^{-z/n}}$

の対数微分から導かれるものである、

また、${\displaystyle z=0}$ でのテイラー展開により、${\displaystyle |\,z\,|<1}$ の領域で次のように級数表示される。

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}\zeta (n)z^{n-1}}$

ただし、${\displaystyle \zeta (n)}$ はリーマンゼータ関数を表す。

積分表示

${\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0}$ のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。

• ${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}e^{-s}-{\frac {1}{(1+s)^{z}}}{\biggr )}{\frac {\mathrm {d} s}{s}}}$

• ${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {e^{-s}}{s}}-{\frac {e^{-zs}}{1-e^{-s}}}{\biggr )}\mathrm {d} s}$

• ${\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\int _{1}^{\infty }{\frac {s^{z-1}-1}{s^{z}(s-1)}}\mathrm {d} s}$

• ${\displaystyle \psi (z+1)=\ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{2}}\operatorname {coth} \left({\dfrac {s}{2}}\right)-{\frac {1}{s}}{\biggr )}e^{-zs}\mathrm {d} s}$

但し、${\displaystyle \coth \left({\frac {s}{2}}\right)}$ は双曲線余接関数を表す。

また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。

• ${\displaystyle \psi (y)-\psi (x)=\int _{0}^{1}{\frac {u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u}}\mathrm {d} u}$

相反公式

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

${\displaystyle \psi (1-z)-\psi (z)=\pi \operatorname {cot} (\pi z)}$

但し、${\displaystyle \cot(\pi z)}$ は余接関数を表す。

漸近展開

${\displaystyle z\to \infty \,(|\arg z|<\pi )}$ のとき、ディガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}\\&=\ln {z}-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+\cdots \end{aligned}}}$

但し、${\displaystyle B_{2n}}$ はベルヌーイ数である。

特殊値

ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。

• ${\displaystyle \psi (1)=-\gamma }$

• ${\displaystyle \psi (n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}=-\gamma +H_{n-1}\qquad \{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\setminus \{1\}\,\}}$

但し、${\displaystyle H_{n-1}}$は調和数を表す。

また、正の半整数において、次の値をとる。

• ${\displaystyle \psi (1/2)=-\gamma -2\ln {2}}$

• ${\displaystyle \psi (n+1/2)=-\gamma -2\ln {2}+2\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2k+1}}\qquad \{\,n\mid \,n\in \mathbb {Z} ^{+}\,\}}$