Smn定理

s_mn定理 (英: s_mn theorem) もしくはパラメータ定理 (英: parameterization theorem) とは、再帰理論における定理であり、プログラミング言語（より一般化すれば、計算可能関数のゲーデル数）の基盤となっている^[1][2]。これを最初に証明したのはスティーブン・コール・クリーネである^[3]。s-m-n定理と表記されることもある。

この定理を実用的に解説すると、あるプログラミング言語と正の整数 m と n があるとき、m+n 個の自由変数を持つプログラムのソースコードを操作する特定のアルゴリズムがあることを示している。そのアルゴリズムは、与えられた m 個の値を最初の m 個の自由変数に束縛し、残りの変数を自由変数のままにしておく。

詳細

本定理の基本形は、2引数の関数に適用される。再帰関数のゲーデル数 ${\displaystyle \varphi }$ が与えられたとき、次のような性質の2引数の原始再帰関数 s が存在する。すなわち、あらゆる2引数の関数 f のゲーデル数 p について、同じ x と y の組合せでの ${\displaystyle \varphi _{s(p,x)}(y)}$ と ${\displaystyle f(x,y)}$ が定義され、その組合せにおいて等しい。言い換えれば、次のような外延的等価性が成り立つ。

${\displaystyle \varphi _{s(p,x)}=\lambda y.\varphi _{p}(x,y)\,}$

これを一般化するため、元の数を原始再帰関数で引き出せるように、n 個の数を1つの数に符号化する方法を採用する。例えば、それらの数のビットをインターリーブするといった符号化が考えられる。すると任意の正の数 m と n について、m+1 個の引数をとる原始再帰関数 ${\displaystyle s_{n}^{m}}$ が存在し、次のように振舞う。すなわち、あらゆる m+n 引数の関数のゲーデル数 p について、

${\displaystyle \varphi _{s_{n}^{m}(p,x_{1},\dots ,x_{m})}=\lambda y_{1},\dots ,y_{n}.\varphi _{p}(x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n})\,}$

となる。${\displaystyle s_{1}^{1}}$ は、関数 s そのものである。

例

以下のLISPのコードは、s₁₁ を実装したものである。

(defun s11 (f x)
  (list 'lambda '(y) (list f x 'y))

例えば、(s11 '(lambda (x y) (+ x y)) 3) を評価すると (lambda (y) ((lambda (x y) (+ x y)) 3 y)) になる。

関連項目

• カリー化
• クリーネの再帰定理
• 部分評価

脚注

1. Soare, R. (1987年). Recursively enumerable sets and degrees. Perspectives in Mathematical Logic. Springer-Verlag. ISBN 3-540-15299-7
2. Rogers, H. (1987年) [1967年]. The Theory of Recursive Functions and Effective Computability. First MIT press paperback edition. ISBN 0-262-68052-1
3. Kleene, S. C. (1943年). “General recursive functions of natural numbers”. Mathematische Annalen 53: 727–742.

参考文献

• Odifreddi, P. (1999年). Classical Recursion Theory. North-Holland. ISBN 0-444-87295-7

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Kleene's s-m-n Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).