特殊ユニタリ群

リー代数の「${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$」とは異なります。

n 次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、英語: special unitary group）SU(n) とは、行列式が1の n 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。

特殊ユニタリ群 SU(n) はユニタリ群 U(n) の部分群であり、さらに一般線型群 GL(n, C)の部分群である。

特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。

定義

${\displaystyle \mathrm {SU} (n)=\{g\in U(n);\det g=1\}}$

ここで U(n) はユニタリ群、 det は行列式である。

性質

特殊ユニタリ群 SU(n) は、以下のような性質を満たす。

• 次元 n²−1 の単純リー群
• コンパクトで単連結
• ランク n−1
• SU(n) の中心は巡回群 Z_n と同型
• 外部自己同型群は n≥3 に対しては Z₂、n=2 に対しては自明な群

生成子

SU(n) の生成子 T は、トレースが 0 のエルミート行列で表現される。

${\displaystyle \mathrm {tr} \,T_{a}=0}$

${\displaystyle T_{a}^{\dagger }=T_{a}}$

基本表現

基本表現、あるいは定義表現では、n 次正方行列で表現される。

${\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}(if_{abc}+d_{abc})T_{c}}$

ここで、 f は構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、d は全ての添え字に関して対称である。

従って、

${\displaystyle \{T_{a},T_{b}\}=T_{a}T_{b}+T_{b}T_{a}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}d_{abc}T_{c}}$

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=T_{a}T_{b}-T_{b}T_{a}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}f_{abc}T_{c}}$

規格化条件として

${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}}$

をとる。

随伴表現

随伴表現では、n²−1 次正方行列で表現され、その成分は、

${\displaystyle (T_{a})_{ij}=-if_{aij}\,}$

で与えられる。

例

SU(2)

SU(2) の元の一般形は

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\alpha &-{\bar {\beta }}\\\beta &{\bar {\alpha }}\\\end{bmatrix}}}$

となる。ここで、α, β ∈ C は |α|² + |β|² = 1 を満たす。

SU(3)

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$ の生成子 T の基本表現は

${\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}$

ここで、${\displaystyle \lambda }$ はゲルマン行列である。

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{2}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{5}={\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{6}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\\\end{bmatrix}}\quad \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}}$

交換関係は

${\displaystyle [T_{a},T_{b}]=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c}}$

となり、構造定数 f は

${\displaystyle f_{123}=1\,}$

${\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}\,}$

${\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}$

となる。d は

${\displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}$

${\displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}$

${\displaystyle d_{146}=d_{157}=-d_{247}=d_{256}=d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}={\frac {1}{2}}.\,}$

となる。

他の群との関係

素粒子物理学では、対称性の破れに関連して部分群が重要になる。

${\displaystyle \mathrm {SU} (p+q)\supset \mathrm {SU} (p)\times \mathrm {SU} (q)\times \mathrm {U} (1)}$

${\displaystyle \mathrm {SU} (n)\supset \mathrm {O} (n)}$

${\displaystyle \mathrm {SU} (2n)\supset \mathrm {USp} (2n)}$

${\displaystyle \mathrm {SO} (2n)\supset \mathrm {SU} (n)}$

${\displaystyle \mathrm {USp} (2n)\supset \mathrm {SU} (n)}$

${\displaystyle \mathrm {E} _{6}\supset \mathrm {SU} (6)}$

${\displaystyle \mathrm {E} _{7}\supset \mathrm {SU} (8)}$

${\displaystyle \mathrm {G} _{2}\supset \mathrm {SU} (3)}$

O(n): 直交群、SO(n): 特殊直交群、USp(2n): シンプレクティック群、E₆, E₇, G₂: 例外型リー群

また、スピン群と以下の同型がある

${\displaystyle \mathrm {Spin} (6)=\mathrm {SU} (4)}$

${\displaystyle \mathrm {Spin} (4)=\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)}$

${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)=\mathrm {SU} (2)=\mathrm {USp} (2)}$

関連項目

• リー群

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Special Unitary Group". mathworld.wolfram.com (英語).
• special unitary group in nLab