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数学の一分野である複素解析（ふくそかいせき、英: complex analysis）は、複素数上で定義された関数の微分法、積分法、変分法、微分方程式論、積分方程式論などの総称であり[1]、関数論とも呼ばれる[2][3][4]。初等教育以降で扱う実解析に対比して複素解析というが、現代数学の基礎が複素数であることから、単に解析といえば複素解析を意味することもある。複素解析の手法は、応用数学を含む数学全般、（流体力学などの）理論物理学、（数値解析[5][6]や回路理論[7]をはじめとした）工学などの多くの分野で用いられている。
複素解析の理論に貢献した先人
複素解析は最も古くからある数学の分野の一つであり、その起源は18世紀あるいはそれより以前にまでたどることができる。レオンハルト・オイラー、カール・フリードリッヒ・ガウス、ベルンハルト・リーマン、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ヨースタ・ミッタク＝レフラー、ワイエルシュトラスといった数学者や他の多くの20世紀の数学者たちが複素解析の理論に貢献している[1][5][6][8]。
複素解析の応用
歴史的に複素解析、特に等角写像の理論は工学・地図学・物理学に多くの応用があるが[6][8][9]、解析的整数論全般にわたっても応用されている[10]。近年は複素力学系の勃興や正則関数の繰り返しによって与えられるフラクタル図形（有名な例としてマンデルブロ集合が挙げられる）の研究などによって有名になっている[11]。
他の重要な応用として共形変換に対して作用が不変な場の量子論である共形場理論が挙げられる。また電気工学におけるフェーザ表示、固体力学における応力関数、流体力学における複素速度ポテンシャル[12]など、工学の様々な分野にも応用されている。
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複素関数とは、自由変数と従属変数がともに複素数の範囲で与えられるような関数である[1][8]。より正確に言えば複素平面の部分集合上で定義された複素数値の関数が複素関数と呼ばれる。複素関数に対し自由変数や従属変数を実部と虚部とに分けて考えることができる。
ここで
従って複素関数の成分
は、2つの実変数 x, y についての実数値関数だと考えることができる。複素解析の基本的な概念は、指数関数、対数関数、三角関数などの実関数を複素関数に拡張することにより与えられることが多い。
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→詳細は「正則関数」を参照
正則関数とは、複素平面のある領域 D で定義され、定義域の全体で複素微分可能、つまり任意の a ∈ D に対し極限
が定まる複素関数 f(z) をいう[1][8]。 複素関数については複素微分可能であることと解析的であること、つまり
- 任意の a ∈ D に対して複素係数のべき級数
が定まり、
- a から一定の距離（収束半径）の範囲でこの級数が収束して、
- 収束値が関数値 f(z) に一致すること
が同値である[13]。そのため、複素解析においては正則関数 (holomorphic function) 、複素微分可能関数 (complex differentiable function) 、解析関数 (analytic function) という用語は同義になる。複素関数が複素微分可能でない点を特異点 (singularity) という。
特異点の分類
→詳細は「特異点 (数学)」を参照
→「確定特異点」および「動く特異点」も参照
複素解析は解析的な領域を主として探求する分野であるが、複素関数に特異点がある場合、特異点を含む領域全体における大局的な挙動は特異点に支配される。したがって、特異点の位置や性質を研究することは複素解析の範疇に含まれる。
特異点には孤立したものと孤立しないものとがあるが、複素解析の対象となるのは主に孤立した特異点である。
孤立特異点
→詳細は「孤立特異点」を参照
孤立特異点は、可除特異点、極 、真性特異点に分類される。除去可能な特異点とは、その点における値を適当に取り直すことにより、複素函数をその近傍で解析的にすることができるときに言う。極とは、複素函数 f(z) の特異点 z = a であって、(z − a)nf(z) において除去可能な特異点となる自然数 n が存在するものをいう。真性特異点とは、除去可能でも極でもない孤立特異点をいう[1]。
非孤立特異点
非孤立特異点は、特異点が稠密に連なっているために、その近傍に必ず他の特異点を含んでしまう特異点をいう。例えば f(z) = 1/sin(1/z) は z = 0 に非孤立特異点を持つ（z = ±1/nπ は 0 以外の、孤立していない真性特異点、ただし n は任意の自然数）。この他に、定義域の自然な境界（解析接続によって越えられない壁）や多価関数を一価関数として扱うために導入する分岐切断 (branch cut)[1] も一種の特異点と考えられる。分岐切断の端点を分岐点 (branch point) というが、分岐切断があるかぎり、分岐点は孤立した特異点になりえない。しかし、分岐切断は（分岐点を固定してホモトープである限り）どこに置いてもよいものであるから都合に合わせて分岐切断を動かせば、分岐点をあたかも孤立した特異点であるかのように扱える。この発想はリーマン面[1][8]に通ずる。分岐点は代数分岐点と対数分岐点に分類されるが、代数特異点、対数特異点[14]と呼ばれることもある。
複素関数の分類
複素関数が微分可能であるということは、実関数が微分可能であるということに比べて遥かに強い条件である。一階微分可能な複素関数は無限階微分可能であり[15]、積分可能であり、解析的である。定義域（もしくは考察の対象となっている領域）の全体で正則な関数を正則関数といい[1][8]、特に複素平面全体を定義域とする正則関数を整関数という[1][8]。孤立した極を除いて正則な関数を有理型関数という[1][8]。指数関数、正弦関数、余弦関数、多項式関数など、多くの初等関数は整関数であるが[1]、正接関数()などは極を持つから有理型であり、対数関数は負の実軸に分岐を持ち正則でない[1][8]。ガンマ関数は負の整数に極を持つから有理型であるが、右半平面に限れば正則である[1][16][17]。
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複素線積分
→詳細は「複素線積分」を参照
複素解析においてよく用いられる道具立てに複素線積分がある。コーシーの積分定理によって、閉じた経路で囲まれた領域の内側全体で正則になっている関数を、その経路上線積分した値はかならず 0 になるということがわかる[1][5][8][11][13]。もし正則関数が特定の点を極にしているとき、つまりそこで関数の値が「爆発」し有限の値をとらないときには、その点での関数の留数を求めることで線積分の値を決定できる。各複素数における正則関数の値は、その点のまわりの円周上での（考えている正則関数に応じて構成される有理型関数の）線積分の値として求めることができる（コーシーの積分公式[1][5][8][11][13]）。また、正則関数の線積分に関する留数の理論を用いることで複雑な実積分の値を決定することもできるようになる[1][5][8][11][13]。
カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理
→詳細は「カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理」を参照
カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理によって真性特異点のまわりでの正則関数の挙動に関する驚くべき性質が導かれる。特異点のまわりでの関数の挙動はテイラー級数に類似のローラン級数によって記述される。
リウヴィルの定理
→詳細は「リウヴィルの定理 (解析学)」を参照
リウヴィルの定理によって複素平面全体で有界な正則関数は定数関数に限られることがわかるが[1][8]、これをもちいて複素数体が代数的閉体であるという代数学の基本定理の自然で簡単な証明が与えられる。
解析接続
→詳細は「解析接続」を参照
正則関数の重要な性質に、正則関数の連結な領域上全体での挙動が任意のより小さい領域上の挙動によって決定されてしまう（一致の定理[1]）、というものがある。大きい領域全体でのもとの関数は小さい領域上に制限して考えたものの解析接続とよばれる[1][8]。このような原理によってリーマンゼータ関数など、限られた領域上でしか収束しない級数によって定義されていた関数を複素平面全体に正則関数や有理型関数として拡張することが可能になる[11][18]。場合によっては自然対数などのように複素平面内の単連結でない領域への解析接続が不可能なこともあるが、リーマン面とよばれる曲面を導入することでその上の正則関数としての「解析接続」を考えることができる[1][8][11][19][20][21][22]。
多変数複素解析
→詳細は「多変数複素解析」を参照
上記の結果はすべて一変数に関する複素解析のものであるが、多変数複素解析に関しても豊かな理論が存在し[23][24][25][26][27][28]、べき級数展開などの解析的な性質が成立している。一方で共形性などの一変数正則関数が持つ幾何学的な性質は拡張されず、リーマンの写像定理[8]が示すような複素平面の領域に関する共形関係性などの複素一変数の理論では成立する重要な性質が複素二変数以上の理論ではもはや成立しない。
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