極円 (幾何学)

幾何学において、三角形の極円（きょくえん、英:polar circle）は垂心を中心とし、半径の二乗が以下の式で表される円である^[1][2][3]。$${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&={\overline {HA}}\times {\overline {HD}}={\overline {HB}}\times {\overline {HE}}={\overline {HC}}\times {\overline {HF}}\\[4pt]&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C\\[4pt]&=4R^{2}-{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\end{aligned}}}$$ここでA, B, Cは三角形の頂点、Hは垂心 (3本の頂垂線の交点)、 D, E, FはA, B, Cに対する垂足、R は外接円の半径、a, b, cはA, B, Cの対辺の長さである。

  △ABC

  頂垂線 (垂心Hで交わる)

  △ABCの極円 、Hを中心とする。

一行目の右辺はA, Dが極円で反転の関係にあることを表す。二行目は半径を三角法で表したものであり、式から分かるように極円は鋭角三角形では定義できない。

性質

  △ABC とその 接線三角形

  △ABC の外接円e
(中心は外心 L)

  接線三角形の外接円s
(中心はK)

  △ABCの九点円t
(中心はM)

  △ABCの極円d
(中心はH)

上記の円の中心はすべて オイラー線上にある。

• 垂心系（英語版）にある4つの点からできる任意の2つの三角形のそれぞれの極円は直交する。
• 極円と第二ドロー・ファーニ―円、ステヴァノヴィッチ円は直交する。
• 三角形の外接円、九点円、極円、接線三角形の外接円、の中心は共線（オイラー線）である。
• ド・ロンシャン円を重心を中心に-2倍拡大（2:1の反転^[4]）したものである。
• 極円のPolar triangleは元の三角形である。そのため、「自己共役円」とも呼ばれる^[4]。

出典

1. Weisstein, Eric W. "Polar Circle". mathworld.wolfram.com (英語).
2. John Alexander Third (1898) (English). Modern Geometry of the Point, Straight Line, and Circle: An Elementary Treatise. Harvard University. Blackwood. http://archive.org/details/moderngeometryp00thirgoog
3. 『Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle,』Houghton Mifflin Harcourt、1929年、176-181頁。https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=wu.89043163211&seq=179。
4. 一松信,畔柳和生『重心座標による幾何学』現代数学社、9/12、30-31頁。

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Second Droz-Farny Circle". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Stevanović Circle". mathworld.wolfram.com (英語).