巡回行列

巡回行列（じゅんかいぎょうれつ）または循環行列（じゅんかんぎょうれつ、英: Circulant matrix）は、テプリッツ行列の特殊なものであり、各行ベクトルが1つ前の行ベクトルの要素を1つずらして配置した形になっているものである。数値解析において、巡回行列は離散フーリエ変換によって対角化されるため、それを含む線型方程式系は高速フーリエ変換で高速に解くことができる。

定義

n次正方行列 C で次の形のものを巡回行列と呼ぶ。

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}c_{0}&c_{n-1}&\dots &c_{2}&c_{1}\\c_{1}&c_{0}&c_{n-1}&&c_{2}\\\vdots &c_{1}&c_{0}&\ddots &\vdots \\c_{n-2}&&\ddots &\ddots &c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{n-2}&\dots &c_{1}&c_{0}\end{bmatrix}}}$

巡回行列は1つのベクトル c で完全に表すことができる。そのベクトルは C の最初の列で表されている。他の列はそれを回転させたものになっている。C の最後の行は c を逆の順序にしたものであり、他の行はそれを回転させたものになっている。

性質

固有ベクトルと固有値

巡回行列の規格化された固有ベクトルは

${\displaystyle v_{j}={\frac {1}{\sqrt {n}}}(1,~\omega _{j},~\omega _{j}^{2},~\ldots ,~\omega _{j}^{n-1})^{T},\quad j=0,1,\ldots ,n-1,}$

で与えられ、これらは正規直交系を成す。ここで${\displaystyle \omega _{j}=\exp \left({\tfrac {2\pi ij}{n}}\right)}$ は1のn 乗根で、${\displaystyle i}$ は虚数単位である。

対応する固有値は

${\displaystyle \lambda _{j}=c_{0}+c_{n-1}\omega _{j}+c_{n-2}\omega _{j}^{2}+\ldots +c_{1}\omega _{j}^{n-1},\qquad j=0\ldots n-1.}$

で与えられる(以上の事実は実際に Cv_j を計算してみればわかる)。

その他の性質

n次の巡回行列の集合は、n次元ベクトル空間を形成する。

任意の2つの巡回行列 A, B について、A + B も AB も巡回行列となり、AB = BA が成り立つ。従って、巡回行列は可換代数を形成する。

与えられたサイズの巡回行列の固有ベクトルは、同じサイズの離散フーリエ変換行列の列である。その結果、巡回行列の固有値は高速フーリエ変換 (FFT) で簡単に計算できる。

巡回行列の最初の行のFFTを行った場合、その巡回行列の行列式はスペクトル値の積となる。

${\displaystyle C=W\Lambda W^{-1}}$（固有分解による）

${\displaystyle \det(C)=\det \left(W\Lambda W^{-1}\right)}$

${\displaystyle \det(C)=\det \left(W\right)\det \left(\Lambda \right)\det \left(W^{-1}\right)}$

${\displaystyle \det(C)=\det \left(\Lambda \right)=\textstyle \prod \limits _{k=1}^{n}\lambda _{k}}$

ここで

• C は n次の巡回行列である
• W は、ユニタリーな離散フーリエ変換行列である
• Λ は、固有値が λ_k の対角行列である

最後の項 ${\displaystyle \textstyle \prod \limits _{k=1}^{n}\lambda _{k}}$ は、スペクトル値の積と同じである。

巡回行列を使った線型方程式系の解法

線型方程式系を行列で次のように表す。

${\displaystyle \ \mathbf {C} \mathbf {x} =\mathbf {b} }$

ここで、${\displaystyle \ C}$ が大きさ ${\displaystyle \ n}$ の巡回行列であれば、循環畳み込みとして次のように方程式を表せる。

${\displaystyle \ \mathbf {c} *\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

ここで、${\displaystyle \ c}$ は ${\displaystyle \ C}$ の最初の列であり、ベクトル ${\displaystyle \ c}$、${\displaystyle \ x}$、${\displaystyle \ b}$ は双方向に循環的に拡張される。畳み込み定理を使うと、離散フーリエ変換を使って循環畳み込みを次のような形式にできる。

${\displaystyle \ {\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} *\mathbf {x} )={\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} ){\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {x} )={\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {b} )}$

従って、次のようになる。

${\displaystyle \ \mathbf {x} ={\mathcal {F}}_{n}^{-1}\left[\left({\frac {({\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {b} ))_{\nu }}{({\mathcal {F}}_{n}(\mathbf {c} ))_{\nu }}}\right)_{\nu \in \mathbf {Z} }\right]}$

このアルゴリズムは通常のガウスの消去法よりも高速であり、特に高速フーリエ変換を使えば高速になる。

グラフ理論における応用

グラフ理論において、隣接行列が巡回行列になっているグラフをcirculant graph（循環グラフ、巡回グラフ）と呼ぶ。グラフが circulant であるとは、その自己同型群 (automorphism group) に全長サイクル (full-length cycle) が含まれる場合を指す。circulant graph の例としてメビウスの梯子がある。

外部リンク

• 『巡回行列の固有値・固有ベクトルと行列式』 - 高校数学の美しい物語
• Toeplitz and Circulant Matrices: A Review, by R. M. Gray