因果集合

因果集合 (causal sets) プログラムは量子重力へのアプローチの一つである。これは、時空は本質的に離散的であり時空の事象はすべて半順序によって関連しているという仮定に基づいている。この半順序は時空の事象間の因果関係という物理的意味を持っている。

概要

このプログラムはen:David Malamentによる定理^[1]に基づいている。この定理は、もしそれらの因果構造を保存する二つの過去と未来が区別可能な時空の間の全単射写像があるならば、その写像は等角同型であることを述べている。未定の共形因子は時空における体積と関係する。この体積因子は時空の各点の体積要素を規定することにより、正しい値を推定することができる。そのとき、時空領域の体積はその領域内の点の数を数えることにより見出すことができるであろう。

因果集合はen:Rafael Sorkinによって創始された。彼はこのプログラムの主要な推進者であり続けている。彼は上述の議論を特徴付けるために、"順序 + 数 = 幾何"というスローガンを作った。このプログラムは、時空は局所ローレンツ不変性を保つ一方で根本的に離散的であるような理論を与える。

定義

因果集合 (causal set または causet) は、半順序関係 ${\displaystyle \preceq }$を持つ集合${\displaystyle C}$、すなわち

• 反射：すべての${\displaystyle x\in C}$について、${\displaystyle x\preceq x}$が成立する。
• 反対称：すべての${\displaystyle x,y\in C}$について、${\displaystyle x\preceq y\preceq x\implies x=y}$が成立する。
• 推移関係：すべての${\displaystyle x,y,z\in C}$について、${\displaystyle x\preceq y\preceq z}$ならば${\displaystyle x\preceq z}$が成立する。
• 局所有限：すべての${\displaystyle x,z\in C}$について、card${\displaystyle (\{y\in C|x\preceq y\preceq z\})<\infty }$が成立する。

ここで、card(${\displaystyle A}$) は集合${\displaystyle A}$の濃度 (cardinality) を表す。以後、${\displaystyle x\preceq y}$ かつ ${\displaystyle x\neq y}$ならば、${\displaystyle x\prec y}$と書く。

集合${\displaystyle C}$は時空の事象の集合を表し、順序関係${\displaystyle \preceq }$は事象間の因果関係を表す。（ローレンツ多様体における類似の概念については因果構造も参照のこと。）

この定義は反射的な順序関係の慣習に基づくが、非反射的な順序関係の慣習を選ぶこともできる。（閉じた因果曲線のない）ローレンツ多様体の因果関係は最初の三つの条件を満たす。局所有限条件は時空の離散性を導く。

連続体との比較

ある因果集合が与えられたとき、それをローレンツ多様体に埋め込むことができるであろうか。埋め込みとは、因果集合の要素を因果集合の順序関係が多様体の因果順序に適合するように多様体の中に入れる写像である。しかしながら、埋め込みが適切である前にさらなる基準が求められる。もし、平均として、多様体のある領域に写像される因果集合要素の数がその領域の体積と比例するなら、その埋め込みは忠実である (faithful) と言われる。この場合、その因果集合は'多様体様 (manifold-like) 'であると見なすことができる。

因果集合プログラムへの中心的な予想は、同じ因果集合は大きなスケールで類似していない二つの時空へ忠実に埋め込むことはできないというものである。これは'基本予想' (fundamental conjecture) を意味する hauptvermutung と呼ばれる。二つの時空が'大きなスケールで類似する'ときを決定するのが困難なため、この予想を厳密に定義することは困難である。

時空を因果集合としてモデル化することは、われわれの関心をこのような'多様体様'の因果集合に制限することを要求するだろう。

まき散らし

1+1次元内の1000個のまき散らされた点のプロット

ある因果集合をある多様体に埋め込むことができるかどうかを決定することの困難には逆方向からアプローチすることができる。ローレンツ多様体上へまき散らした点によって因果集合を作ることができる。その時空領域の体積に比例する数の点をまき散らし、それらの点の間の順序関係を誘導するために多様体上の因果順序関係を用いることによって、（構成によって）その多様体に忠実に埋め込むことのできる因果集合を生成することができる。

ローレンツ不変性を保つために、これらの点はポアソン過程を用いてランダムにまき散らされなければならない。このように、${\displaystyle n}$個の点を体積${\displaystyle V}$の領域上まき散らす確率は

${\displaystyle P(n)={\frac {(\rho V)^{n}e^{-\rho V}}{n!}}}$

である。ここで、${\displaystyle \rho }$はまき散らしの密度である。

ある正則格子上への点のまき散らしでは、点の数とその領域の体積の比例関係は保たれないであろう。

幾何学

多様体におけるいくつかの幾何的な構成を因果集合に適用することができる。これらを定義したとき、因果集合が埋め込まれる可能性のある背景のどの時空にも基礎をおくのではなく、因果集合自身のみに基礎をおくことに注意が必要である。これらの構成の概要は脚注を参照のこと^[2]。

測地線

1+1次元にまき散らされた180個の点の因果集合内の二点間の測地線のプロット

ある因果集合内のリンク (link) とは、${\displaystyle x\prec y}$となる一対の要素${\displaystyle x,y\in C\,\!}$で、${\displaystyle x\prec z\prec y}$となる${\displaystyle z\in C\,\!}$は持たない。

チェーン (chain) とは、${\displaystyle i=0,\ldots ,n-1}$について${\displaystyle x_{i}\prec x_{i+1}}$となる要素の列${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$である。チェーンの長さ${\displaystyle n}$は使われた関係の数である。

これは二つの因果集合要素の間の測地線を定義するために用いることができる。二つの要素${\displaystyle x,y\in C}$間の測地線は次の条件を持つリンクのみで構成されたチェーンである：

1. ${\displaystyle x_{0}=x\,\!}$および${\displaystyle x_{n}=y\,\!}$
2. チェーンの長さ${\displaystyle n}$は${\displaystyle x\,}$から${\displaystyle y\,}$へのチェーン全体にわたる最大.

一般的には、二つの要素の間に一つ以上の測地線が存在する。

Myrheim^[3]は、そのような測地線の長さは二つの時空点を結ぶある時間的測地線に沿った固有時に直接比例するべきであることを最初に示唆した。平坦な時空にまき散らされて生成された因果集合を用いて、この予想の検証がなされている。この比例関係が成立することは示され続けてきており、曲がった時空にまき散らされた因果集合でも同様に成り立つことが予想されている。

次元推定

ある因果集合の多様体次元を推定するための多くの研究がなされている。これには、忠実に埋め込むことのできる多様体の次元を与えることを目的としている因果構造を用いるアルゴリズムを含む。 このアルゴリズムは今までのところ、因果集合を忠実に埋め込むことのできるミンコフスキー時空の次元を見つけることに基づいて開発されている。

• Myrheim-Meyer次元

このアプローチは、${\displaystyle d}$-次元ミンコフスキー時空にまき散らされた因果構造内に存在する${\displaystyle k}$-長のチェーンの数の推定に基づいている。次に、因果構造内の${\displaystyle k}$-長のチェーンの数を数えることで、${\displaystyle d}$について推定することができる。

• 中点スケーリング次元

このアプローチは、ミンコフスキー時空内の二点間の固有時とその二点間の時空間隔の体積との関係に基づいている。（固有時を推定するために）二点${\displaystyle x\,}$と${\displaystyle y\,}$の間の最大チェーン長を計算し、（時空間隔の体積を推定するために）${\displaystyle x\prec z\prec y}$となる要素${\displaystyle z\,}$の数を数えることで、時空の次元を計算することができる。

これらの推定方法は${\displaystyle d}$-次元ミンコフスキー空間へ高密度でまき散らされることで生成された因果集合の正しい次元を与えるべきである。共形平坦な時空における検証^[4]は、これら二つの方法が正確であることを示している。

動力学

因果集合の正しい動力学を開発する課題が進行中である。これらは、どの因果集合が物理的に現実的な時空に一致するかを決定する規則の集合を与えるであろう。因果集合動力学を開発する最も有名なアプローチは量子力学の歴史の和 (sum-over-histories) による立場に基づいている。このアプローチは、因果集合の一要素を同時に成長 (growing) させることによって"因果集合の和 (sum-over-causal sets) "を実行しうる。各要素は量子力学の規則に従って足し合わされ、干渉は大きな多様体様の時空がその貢献に最も重要であることを確かにするであろう。当面のところ最も良い動力学モデルは各要素が確率に従って足し合わせられる古典モデルである。このモデルはDavid Rideoutとen:Rafael Sorkinによるもので、古典逐次成長力学 (classical sequential growth : CSG) 動力学として知られている^[5]。古典逐次成長力学モデルは新しい要素を次々と足し合わせていくことで因果集合を生成する方法である。新しい要素をどのように足し合わせていくかの規則が規定されており、モデルのパラメータに依存して異なる因果集合を生じる。

関連項目

• 因果構造
• 順序理論
• 一般相対性理論

脚注

1. D. Malament, The class of continuous timelike curves determines the topology of spacetime Archived 2013年1月12日, at Archive.is, Journal of Mathematical Physics, July 1977, Volume 18, Issue 7, pp. 1399-1404
2. G, Brightwell, R. Gregory, Structure of random discrete spacetime, Phys. Rev. Lett. 66, 260 - 263 (1991)
3. J. Myrheim, CERN preprint TH-2538 (1978)
4. D.D. Reid, Manifold dimension of a causal set: Tests in conformally flat spacetimes, Phys.Rev. D67 (2003) 024034, arXiv:gr-qc/0207103v2
5. D.P. Rideout, R.D. Sorkin; A classical sequential growth dynamics for causal sets, Phys. Rev D, 6, 024002 (2000) arXiv:gr-qc/9904062

参考文献

入門と概括

• L. Bombelli. Causal Set reference page (Overview)
• L. Bombelli. Causal Sets: Overview and Status, Talk given at Quantum Gravity in the Americas III, August 24–26, 2006; (Introduction, Overview)
• F. Dowker, Causal sets and the deep structure of spacetime, arXiv:gr-qc/0508109; (Introduction)
• F. Dowker, Causal sets as discrete spacetime, Contemporary Physics, vol. 47, Issue 1, p. 1-9; (Overview, Introduction)
• J. Henson, The causal set approach to quantum gravity, arXiv:gr-qc/0601121; (Introduction, Overview)
• D.D. Reid; Introduction to causal sets: an alternate view of spacetime structure; Canadian Journal of Physics 79, 1-16 (2001); arXiv:gr-qc/9909075; (General);
• R.D. Sorkin; Causal set glossary and bibliography (20 November 2001); (Glossary and bibliography);
• R.D. Sorkin, Causal Sets: Discrete Gravity (Notes for the Valdivia Summer School), In Proceedings of the Valdivia Summer School, edited by A. Gomberoff and D. Marolf; arXiv:gr-qc/0309009; (Introduction, Glossary)

基礎

• L. Bombelli, J. Lee, D. Meyer, R.D. Sorkin, Spacetime as a causal set, Phys. Rev. Lett. 59:521-524 (1987) ; (Introduction, Foundations)
• C. Moore, Comment on "Space-time as a causal set", Phys. Rev. Lett. 60, 655 (1988); (Foundations)
• L. Bombelli, J. Lee, D. Meyer, R.D. Sorkin, Bombelli et al. Reply, Phys. Rev. Lett. 60, 656 (1988); (Foundations)
• A. Einstein, Letter to H.S. Joachim, August 14, 1954; Item 13-453 cited in J. Stachel,“Einstein and the Quantum: Fifty Years of Struggle”, in From Quarks to Quasars,Philosophical Problems of Modern Physics, edited by R.G. Colodny (U. Pittsburgh Press, 1986), pages 380-381; (Historical)
• D. Finkelstein, Space-time code, Phys. Rev. 184:1261 (1969); (Foundations)
• D. Finkelstein, "Superconducting" Causal Nets, Int. J. Th. Phys 27:473(1988); (Foundations)
• G. Hemion, A quantum theory of space and time; Found. Phys. 10 (1980), p. 819 (Similar proposal)
• J. Myrheim, Statistical geometry, CERN preprint TH-2538 (1978); (Foundations, Historical)
• B. Riemann, Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, The Collected Works of B. Riemann (Dover NY 1953); ; (Historical)
• R.D. Sorkin; A Finitary Substitute for Continuous Topology, Int. J. Theor. Phys. 30 7: 923-947 (1991); (Foundational)
• R.D. Sorkin, Does a Discrete Order underly Spacetime and its Metric?, Proceedings of the Third Canadian Conference on General Relativity and Relativistic Astrophysics, (Victoria, Canada, May, 1989), edited by A. Coley, F. Cooperstock, B.Tupper, pp. 82–86, (World Scientific, 1990); (Introduction)
• R.D. Sorkin, First Steps with Causal Sets, General Relativity and Gravitational Physics, (Proceedings of the Ninth Italian Conference of the same name, held Capri, Italy, September, 1990), 68-90, (World Scientific, Singapore), (1991), R. Cianci, R. de Ritis, M. Francaviglia, G. Marmo, C. Rubano, P. Scudellaro (eds.); (Introduction)
• R.D. Sorkin, Spacetime and Causal Sets, Relativity and Gravitation: Classical and Quantum, (Proceedings of the SILARG VII Conference, held Cocoyoc, Mexico, December, 1990), pages 150-173, (World Scientific, Singapore, 1991), J.C. D’Olivo, E. Nahmad-Achar, M.Rosenbaum, M.P. Ryan, L.F. Urrutia and F. Zertuche (eds.); (Introduction)
• R.D. Sorkin, Forks in the Road, on the Way to Quantum Gravity, Talk given at the conference entitled “Directions in General Relativity”, held at College Park, Maryland, May, 1993, Int. J. Th. Phys. 36: 2759–2781 (1997); arXiv:gr-qc/9706002; (Philosophical, Introduction)
• G.'t Hooft, Quantum gravity: a fundamental problem and some radical ideas, Recent Developments in Gravitation (Proceedings of the 1978 Cargese Summer Institute) edited by M. Levy and S. Deser (Plenum, 1979); (Introduction, Foundations, Historical)
• E.C. Zeeman, Causality Implies the Lorentz Group, J. Math. Phys. 5: 490-493; (Historical, Foundations)

博士論文

• L. Bombelli, Space-time as a Causal Set, PhD thesis (Syracuse University, 1987); (Introduction, Kinematics)
• A.R. Daughton; The Recovery of Locality for Causal Sets and Related Topics; PhD thesis (Syracuse University, 1993); (Locality)
• D. Dou, Causal Sets, a Possible Interpretation for the Black Hole Entropy, and Related Topics; PhD thesis (SISSA, Trieste, 1999); arXiv:gr-qc/0106024 (Black hole entropy)
• S. Johnston, Quantum Fields on Causal Sets, PhD Thesis (Imperial College London, 2010) arXiv:1010.5514 (Quantum Field Theory)
• D.A. Meyer, The Dimension of Causal Sets, PhD thesis (M.I.T., 1988); (Dimension theory)
• L. Philpott, Causal Set Phenomenology, PhD Thesis (Imperial College London, 2010); arXiv:1009.1593 (Swerves, Phenomenology)
• D.P. Rideout; Dynamics of Causal Sets; PhD Thesis (Syracuse University 2001); arXiv:gr-qc/0212064; (Cosmology, Dynamics)
• R.B. Salgado; Toward a Quantum Dynamics for Causal Sets; PhD Thesis (Syracuse University 2008); (Scalar field theory, Quantum Measure)
• R. Sverdlov; Quantum Field Theory and Gravity in Causal Sets; PhD Thesis (University of Michigan 2009); arXiv: 0905.2263 (Quantum Field Theory and Gravity)

公演

• F. Dowker, Causal Set Phenomenology; Talk given at Loops 05, 10–14 October 2005, Potsdam, Max Planck Institute for Gravitational Physics (Swerves)
• S. Johnston; Particle Propagators from Discrete Spacetime; Talk given at Perimeter Institute 14/04/2008 (Quantum field theory)
• D.A. Meyer; Talk given at the 1997 Santa Fe workshop: Causal Sets and Feynman diagrams; Presented at "New Directions in Simplicial Quantum Gravity" July 28 - August 8, 1997; (Feynman diagrams, Quantum Dynamics)
• D.P. Rideout; Spatial Hypersurfaces in Causal Set Cosmology; Talk given at Loops 05, 10–14 October 2005, Potsdam, Max Planck Institute for Gravitational Physics (Spatial hyper-surfaces, Dynamics)
• J. Scargle, Testing Quantum Gravity Theories with GLAST; Talk given at Santa Cruz Institute for Particle Physics, April 24, 2007. (Lorentz invariance, Phenomenology)
• R.D. Sorkin; Two Talks given at the 1997 Santa Fe workshop: A Review of the Causal Set Approach to Quantum Gravity and A Growth Dynamics for Causal Sets; Presented at ”New Directions in Simplicial Quantum Gravity” July 28 - August 8, 1997; ;;
• R.D. Sorkin; Does quantum gravity give rise to an observable nonlocality?; Talk given at Perimeter Institute 17/01/2007 (d'Alembertian, Locality)
• R.D. Sorkin, Some Insights for Quantum Gravity Derived from Work on Causal Sets; Talk given at Loops 05, 10–14 October 2005, Potsdam, Max Planck Institute for Gravitational Physics (Overview)
• R.D. Sorkin Is a past-finite causal order the inner basis of spacetime? Talk given at Perimeter Institute 07/09/2005
• S. Surya, Recovering spacetime topology from a causet; Talk given at Loops 05, 10–14 October 2005, Potsdam, Max Planck Institute for Gravitational Physics (Topology)
• R. Sverdlov; Introduction of bosonic fields into causal set theory; Talk given at Perimeter Institute 19/02/2008 (Quantum field theory)

多様体

• L. Bombelli, D.A. Meyer; The origin of Lorentzian geometry; Phys. Lett. A 141:226-228 (1989); (Manifoldness)
• L. Bombelli, R.D. Sorkin, When are Two Lorentzian Metrics close?, General Relativity and Gravitation, proceedings of the 12th International Conference on General Relativity and Gravitation, held July 2–8, 1989, in Boulder, Colorado, USA, under the auspices of the International Society on General Relativity and Gravitation, 1989, p. 220; (Closeness of Lorentzian manifolds)
• L. Bombelli, Causal sets and the closeness of Lorentzian manifolds, Relativity in General: proceedings of the Relativity Meeting "93, held September 7–10, 1993, in Salas, Asturias, Spain. Edited by J. Diaz Alonso, M. Lorente Paramo. ISBN 2-86332-168-4. Published by Editions Frontieres, 91192 Gif-sur-Yvette Cedex, France, 1994, p. 249; (Closeness of Lorentzian manifolds)
• L. Bombelli, Statistical Lorentzian geometry and the closeness of Lorentzian manifolds, J. Math. Phys.41:6944-6958 (2000); arXiv:gr-qc/0002053 (Closeness of Lorentzian manifolds, Manifoldness)
• A.R. Daughton, An investigation of the symmetric case of when causal sets can embed into manifolds, Class. Quant. Grav.15(11):3427-3434 (Nov,1998); (Manifoldness)
• J. Henson, Constructing an interval of Minkowski space from a causal set, Class.Quant.Grav. 23 (2006) L29-L35; arXiv:gr-qc/0601069; (Continuum limit, Sprinkling)
• S. Major, D.P. Rideout, S. Surya, On Recovering Continuum Topology from a Causal Set, J.Math.Phys.48:032501,2007; arXiv:gr-qc/0604124 (Continuum Topology)
• S. Major, D.P. Rideout, S. Surya; Spatial Hypersurfaces in Causal Set Cosmology; Class.Quant.Grav. 23 (2006) 4743-4752; arXiv:gr-qc/0506133v2; (Observables, Continuum topology)
• S. Major, D.P. Rideout, S. Surya, Stable Homology as an Indicator of Manifoldlikeness in Causal Set Theory, arXiv:0902.0434 (Continuum topology and homology)
• D.A. Meyer, The Dimension of Causal Sets I: Minkowski dimension, Syracuse University preprint (1988); (Dimension theory)
• D.A. Meyer, The Dimension of Causal Sets II: Hausdorff dimension, Syracuse University preprint (1988); (Dimension theory)
• D.A. Meyer, Spherical containment and the Minkowski dimension of partial orders, Order 10: 227-237 (1993); (Dimension theory)
• J. Noldus, A new topology on the space of Lorentzian metrics on a fixed manifold, Class. Quant. Grav 19: 6075-6107 (2002); (Closeness of Lorentzian manifolds)
• J. Noldus, A Lorentzian Gromov–Hausdorff notion of distance, Class. Quant. Grav. 21, 839-850, (2004); (Closeness of Lorentzian manifolds)
• D.D. Reid, Manifold dimension of a causal set: Tests in conformally flat spacetimes, Phys.Rev. D67 (2003) 024034; arXiv:gr-qc/0207103v2 (Dimension theory)
• S. Surya, Causal Set Topology; arXiv:0712.1648

幾何学

• E. Bachmat; Discrete spacetime and its applications; arXiv:gr-qc/0702140; (Geodesics, Antichains)
• G. Brightwell, R. Gregory; The Structure of Random Discrete Spacetime; Phys. Rev. Lett. 66:260-263 (1991); (Geodesic Length)
• G. W. Gibbons, S. N. Solodukhin; The Geometry of Small Causal Diamonds arXiv:hep-th/0703098 (Causal intervals)
• S.W. Hawking, A.R. King, P.J. McCarthy; A new topology for curved space–time which incorporates the causal, differential, and conformal structures; J. Math. Phys. 17 2:174-181 (1976); (Geometry, Causal Structure)
• S. He, D.P. Rideout; A Causal Set Black Hole; arXiv:0811.4235 (Causal structure of Schwarzschild spacetime, Sprinklings)
• R. Ilie, G.B. Thompson, D.D. Reid; A numerical study of the correspondence between paths in a causal set and geodesics in the continuum; 2006 Class. Quantum Grav. 23 3275-3285 arXiv:gr-qc/0512073(Geodesic length)
• A.V. Levichev; Prescribing the conformal geometry of a lorentz manifold by means of its causal structure; Soviet Math. Dokl. 35:452-455, (1987); (Geometry, Causal Structure)
• D. Malament; The class of continuous timelike curves determines the topology of spacetime; J. Math. Phys. 18 7:1399-1404 (1977); (Geometry, Causal Structure)
• D.P. Rideout, P. Wallden; Spacelike distance from discrete causal order; arXiv:0810.1768 (Spatial distances)

宇宙定数予測

• M. Ahmed, S. Dodelson, P.B. Greene, R.D. Sorkin, Everpresent lambda; Phys. Rev. D69, 103523, (2004) arXiv:astro-ph/0209274v1 ; (Cosmological Constant)
• Y. Jack Ng and H. van Dam, A small but nonzero cosmological constant; Int. J. Mod. Phys D. 10 : 49 (2001) arXiv:hep-th/9911102v3; (PreObservation Cosmological Constant)
• Y. Kuznetsov, On cosmological constant in Causal Set theory; arXiv:0706.0041
• R.D. Sorkin, A Modified Sum-Over-Histories for Gravity; reported in Highlights in gravitation and cosmology: Proceedings of the International Conference on Gravitation and Cosmology, Goa, India, 14–19 December 1987, edited by B. R. Iyer, Ajit Kembhavi, Jayant V. Narlikar, and C. V. Vishveshwara, see pages 184-186 in the article by D. Brill and L. Smolin: “Workshop on quantum gravity and new directions”, pp 183–191 (Cambridge University Press, Cambridge, 1988); (PreObservation Cosmological Constant)
• R.D. Sorkin; On the Role of Time in the Sum-over-histories Framework for Gravity, paper presented to the conference on The History of Modern Gauge Theories, held Logan, Utah, July 1987; Int. J. Theor. Phys. 33 : 523-534 (1994); (PreObservation Cosmological Constant)
• R.D. Sorkin, First Steps with Causal Sets, in R. Cianci, R. de Ritis, M. Francaviglia, G. Marmo, C. Rubano, P. Scudellaro (eds.), General Relativity and Gravitational Physics (Proceedings of the Ninth Italian Conference of the same name, held Capri, Italy, September, 1990), pp. 68–90 (World Scientific, Singapore, 1991); (PreObservation Cosmological Constant)
• R.D. Sorkin; Forks in the Road, on the Way to Quantum Gravity, talk given at the conference entitled “Directions in General Relativity”, held at College Park, Maryland, May, 1993; Int. J. Th. Phys. 36 : 2759–2781 (1997) arXiv:gr-qc/9706002 ; (PreObservation Cosmological Constant)
• R.D. Sorkin, Discrete Gravity; a series of lectures to the First Workshop on Mathematical Physics and Gravitation, held Oaxtepec, Mexico, Dec. 1995 (unpublished); (PreObservation Cosmological Constant)
• R.D. Sorkin, Big extra dimensions make Lambda too small; arXiv:gr-qc/0503057v1; (Cosmological Constant)
• R.D. Sorkin, Is the cosmological "constant" a nonlocal quantum residue of discreteness of the causal set type?; Proceedings of the PASCOS-07 Conference, July 2007, Imperial College London; arXiv:0710.1675; (Cosmological Constant)
• J. Zuntz, The CMB in a Causal Set Universe, arXiv:0711.2904 (CMB)

ローレンツ不変性とポアンカレ不変性、現象論

• L. Bombelli, J. Henson, R.D. Sorkin; Discreteness without symmetry breaking: a theorem; arXiv:gr-qc/0605006v1; (Lorentz invariance, Sprinkling)
• F. Dowker, J. Henson, R.D. Sorkin, Quantum gravity phenomenology, Lorentz invariance and discreteness; Mod. Phys. Lett. A19, 1829–1840, (2004) arXiv:gr-qc/0311055v3; (Lorentz invariance, Phenomenology, Swerves)
• F. Dowker, J. Henson, R.D. Sorkin, Discreteness and the transmission of light from distant sources; arXiv:1009.3058 (Coherence of light, Phenomenology)
• J. Henson, Macroscopic observables and Lorentz violation in discrete quantum gravity; arXiv:gr-qc/0604040v1; (Lorentz invariance, Phenomenology)
• N. Kaloper, D. Mattingly, Low energy bounds on Poincaré violation in causal set theory; Phys. Rev. D 74, 106001 (2006) arXiv:astro-ph/0607485 (Poincaré invariance, Phenomenology)
• D. Mattingly, Causal sets and conservation laws in tests of Lorentz symmetry; Phys. Rev. D 77, 125021 (2008) arXiv:0709.0539 (Lorentz invariance, Phenomenology)
• L. Philpott, F. Dowker, R.D. Sorkin, Energy-momentum diffusion from spacetime discreteness; arXiv:0810.5591 (Phenomenology, Swerves)

因果集合理論におけるブラックホールエントロピー

• D. Dou, Black Hole Entropy as Causal Links; Fnd. of Phys, 33 2:279-296(18) (2003); arXiv:gr-qc/0302009v1 (Black hole entropy)
• D.P. Rideout, S. Zohren, Counting entropy in causal set quantum gravity ; arXiv:gr-qc/0612074v1; (Black hole entropy)
• D.P. Rideout, S. Zohren, Evidence for an entropy bound from fundamentally discrete gravity; Class.Quant.Grav. 23 (2006) 6195-6213; arXiv:gr-qc/0606065v2 (Black hole entropy)

局所性と場の量子論

• G. Hemion, A discrete geometry: speculations on a new framework for classical electrodynamics; Int. J. Theor. Phys. 27 (1988), p. 1145 (Classical electodynamics)
• S. Johnston; Particle propagators on discrete spacetime; 2008 Class. Quantum Grav. 25 202001; arXiv:0806.3083 (Quantum Field Theory)
• S. Johnston; The Feynman propagator for a Free Scalar Field on a Causal Set; Phys. Rev. Lett. 103, 180401 (2009); arXiv:0909.0944 (Quantum Field Theory)
• R.D. Sorkin; Does Locality Fail at Intermediate Length-Scales; Towards Quantum Gravity, Daniele Oriti (ed.) (Cambridge University Press, 2007); arXiv:gr-qc/0703099v1; (d'Alembertian, Locality)
• R. Sverdlov, L. Bombelli; Gravity and Matter in Causal Set Theory; arXiv:0801.0240
• R. Sverdlov; A Geometrical Description of Spinor Fields; arXiv:0802.1914
• R. Sverdlov; Bosonic Fields in Causal Set Theory; arXiv:0807.4709
• R. Sverdlov; Gauge Fields in Causal Set Theory; arXiv:0807.2066
• R. Sverdlov; Spinor fields in Causal Set Theory; arXiv:0808.2956

因果集合動力学

• M. Ahmed, D. Rideout, Indications of de Sitter Spacetime from Classical Sequential Growth Dynamics of Causal Sets; arXiv:0909.4771
• A.Ash, P. McDonald, Moment Problems and the Causal Set Approach to Quantum Gravity; J.Math.Phys. 44 (2003) 1666-1678; arXiv:gr-qc/0209020
• A.Ash, P. McDonald, Random partial orders, posts, and the causal set approach to discrete quantum gravity; J.Math.Phys. 46 (2005) 062502 (Analysis of number of posts in growth processes)
• D.M.T. Benincasa, F. Dowker, The Scalar Curvature of a Causal Set; arXiv:1001.2725; (Scalar curvature, actions)
• G. Brightwell; M. Luczak; Order-invariant Measures on Causal Sets; arXiv:0901.0240; (Measures on causal sets)
• G. Brightwell; M. Luczak; Order-invariant Measures on Fixed Causal Sets; arXiv:0901.0242; (Measures on causal sets)
• G. Brightwell, H.F. Dowker, R.S. Garcia, J. Henson, R.D. Sorkin; General covariance and the "problem of time" in a discrete cosmology; In ed. K. Bowden, Correlations:Proceedings of the ANPA 23 conference, August 16–21, 2001, Cambridge, England, pp. 1–17. Alternative Natural Philosophy Association, (2002).;arXiv:gr-qc/0202097; (Cosmology, Dynamics, Observables)
• G. Brightwell, H.F. Dowker, R.S. Garcia, J. Henson, R.D. Sorkin; "Observables" in causal set cosmology; Phys. Rev. D67, 084031, (2003); arXiv:gr-qc/0210061; (Cosmology, Dynamics, Observables)
• G. Brightwell, J. Henson, S. Surya; A 2D model of Causal Set Quantum Gravity: The emergence of the continuum; arXiv:0706.0375; (Quantum Dynamics, Toy Model)
• G.Brightwell, N. Georgiou; Continuum limits for classical sequential growth models University of Bristol preprint. (Dynamics)
• A. Criscuolo, H. Waelbroeck; Causal Set Dynamics: A Toy Model; Class. Quant. Grav.16:1817-1832 (1999); arXiv:gr-qc/9811088; (Quantum Dynamics, Toy Model)
• F. Dowker, S. Surya; Observables in extended percolation models of causal set cosmology;Class. Quant. Grav. 23, 1381-1390 (2006); arXiv:gr-qc/0504069v1; (Cosmology, Dynamics, Observables)
• M. Droste, Universal homogeneous causal sets, J. Math. Phys. 46, 122503 (2005); arXiv:gr-qc/0510118; (Past-finite causal sets)
• A.L. Krugly; Causal Set Dynamics and Elementary Particles; Int. J. Theo. Phys 41 1:1-37(2004);; (Quantum Dynamics)
• X. Martin, D. O'Connor, D.P. Rideout, R.D. Sorkin; On the “renormalization” transformations induced by cycles of expansion and contraction in causal set cosmology; Phys. Rev. D 63, 084026 (2001); arXiv:gr-qc/0009063 (Cosmology, Dynamics)
• D.A. Meyer; Spacetime Ising models; (UCSD preprint May 1993); (Quantum Dynamics)
• D.A. Meyer; Why do clocks tick?; General Relativity and Gravitation 25 9:893-900;; (Quantum Dynamics)
• I. Raptis; Quantum Space-Time as a Quantum Causal Set, arXiv:gr-qc/0201004v8
• D.P. Rideout, R.D. Sorkin; A classical sequential growth dynamics for causal sets, Phys. Rev D, 6, 024002 (2000);arXiv:gr-qc/9904062 (Cosmology, Dynamics)
• D.P. Rideout, R.D. Sorkin; Evidence for a continuum limit in causal set dynamics Phys.Rev.D63:104011,2001; arXiv:gr-qc/0003117(Cosmology, Dynamics)
• R.D. Sorkin; Indications of causal set cosmology; Int. J. Theor. Ph. 39(7):1731-1736 (2000); arXiv:gr-qc/0003043; (Cosmology, Dynamics)
• R.D. Sorkin; Relativity theory does not imply that the future already exists: a counterexample; Relativity and the Dimensionality of the World, Vesselin Petkov (ed.) (Springer 2007, in press); arXiv:gr-qc/0703098v1; (Dynamics, Philosophy)
• M. Varadarajan, D.P. Rideout; A general solution for classical sequential growth dynamics of Causal Sets; Phys.Rev. D73 (2006) 104021; arXiv:gr-qc/0504066v3; (Cosmology, Dynamics)

外部リンク

• The causal set approach to quantum gravity a review article by Joe Henson on causal sets
• Space-time as a causal set - one of the first papers by Luca Bombelli, Joohan Lee, David Meyer, and Rafael D. Sorkin
• Geometry from order: causal sets - non-technical article by Rafael D. Sorkin on Einstein Online