四極子

四極子（しきょくし、英: quadrupole, quadrapole）または四重極とは、モーメントが等しい双極子が、2個逆向きに接近して並んでいるような単極子の分布をいう。単極子を正方形状に配置したものと、直線状に配置したものがあり、それぞれ横型、縦型と呼び分けられる。 また、有限の大きさの電荷分布が作る場を多重極展開（英語版）したときにも現れる。

四極子（横型）

電気四極子の等ポテンシャル面

電荷の分布を電気四極子、磁荷の分布を磁気四極子という。電磁気学においては単に四極子といえば、電気四極子を指すことが多い。

電気四極子モーメントは2階の対称テンソルであり、以下のように定義される ^{[1] [2]}:

${\displaystyle Q_{ij}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})r_{i}r_{j}}$

ここで、${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})}$ は位置 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ における電荷密度で、添字 ${\displaystyle i,j\in \{x,y,z\}}$ である。直積を用いると

${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}=\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}}){\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}}$

あるいはトレースなしのテンソルとして以下のように定義される^[2]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{ij}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V~\rho ({\boldsymbol {r}})(3r_{i}r_{j}-\delta _{ij}r^{2})={\frac {1}{2}}\left[3Q_{ij}-\delta _{ij}(Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz})\right]\\{\boldsymbol {\Theta }}&={\frac {1}{2}}\int \mathrm {d} V\rho ({\boldsymbol {r}})(3{\boldsymbol {r}}\otimes {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {1}}r^{2})={\frac {1}{2}}(3{\boldsymbol {Q}}-{\boldsymbol {1}}\operatorname {tr} {\boldsymbol {Q}})\end{aligned}}}$

${\displaystyle \delta }$ はクロネッカーのデルタである。

電気四極子モーメントによる電位 ${\displaystyle \phi }$ は

${\displaystyle \phi ={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {{\boldsymbol {r}}^{\intercal }{\boldsymbol {\Theta }}{\boldsymbol {r}}}{r^{5}}}}$

で与えられる。${\displaystyle \epsilon }$ は 誘電率 である。

一般に四極子のポテンシャルφは単極子のそれφ_monopole の空間についての2階微分で表される^[3]。

${\displaystyle \phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}\phi _{\mathrm {monopole} }}$　（横型）

${\displaystyle \phi \propto {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\phi _{\mathrm {monopole} }}$　（縦型）

また、音響学においても用いられ^[4]、音源の一種として扱われる。