ユークリッド原論

数学書『原論』（げんろん、古希: Στοιχεῖα, ストイケイア、英: Elements）は、紀元前3世紀ごろに古代エジプトのアレクサンドリアの数学者エウクレイデス（その英語読みがユークリッド）によって編纂されたと言われる数学書。『幾何学原論』、ユークリッド『原論』、ユークリッド『原本』とも。プラトンの学園アカデメイアで知られていた数学の成果を集めて体系化した本と考えられており、論証的学問としての数学の地位を確立した古代ギリシア数学の集大成である。

原論 古代ギリシア語: Στοιχεῖα ストイケイア
バースのアデラードによる『原論』のラテン語訳の口絵。1309年-1316年頃。
著者	アレクサンドリアのエウクレイデス（ユークリッド）
訳者	中村幸四郎・寺阪英孝・伊東俊太郎・池田美恵、斎藤憲・三浦伸夫
発行日	2011年5月25日、2008年1月28日
発行元	共立出版、東京大学出版会
ジャンル	数学書
コード	ISBN 978-4-320-01965-2 ISBN 978-4-13-065301-5 ISBN 978-4-13-065302-2
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エジプト中部のオクシュリュンコスで発見された『ユークリッド原論』のパピルスの写本断片。紀元100年ごろの作。図は『原論』第2巻の命題5に添えられたもの。

古代の書物でありながらその影響は古代に留まらず、後世の人々によって図や注釈が加えられたり翻訳された多種多様な版が作られ続け、20世紀初頭に至るまで標準的な数学の教科書の一つとして使われていたため、西洋の書物では聖書に次いで世界中で読まれてきた本とも評される。しかし、著者のユークリッドに関する資料は乏しく実在性を疑う説もあり、原論執筆の地がアレクサンドリアであることに対する明確な根拠もない。

内容

構成

ユークリッド原論の内容は幾何学、比例論、数論、無理量論（無理数）からなる。このうちで幾何学については、議論の前提の一つである平行線公準の必要性が疑問視されて19世紀に非ユークリッド幾何学が成立したため、原論と同じように平行線公準を正しいとした前提から論じた幾何学は、原論以後に得られた成果も含めてユークリッド幾何学と呼ばれる分野になった。

全13巻で内容は以下の通り^[1]。

巻数	定義	公準	公理	命題	内容
第1巻	23	5	5 (又は9)	48	平面図形の性質
第2巻	2	0	0	14	面積の変形（いわゆる幾何学的代数）
第3巻	11	0	0	37	円の性質
第4巻	7	0	0	16	円に内接・外接する多角形
第5巻	18	0	0	25	比例論
第6巻	4	0	0	33	比例論の図形への応用
第7巻	22	0	0	39	数論
第8巻	0	0	0	27	数論
第9巻	0	0	0	36	数論
第10巻	第1群 4 第2群 6 第3群 6	0	0	115	無理量論
第11巻	29	0	0	39	立体図形
第12巻	0	0	0	18	面積・体積
第13巻	0	0	0	18	正多面体

平面の初等幾何について述べられているのは1、2、3、4巻と6巻。 ただし、この内容はユークリッド本人の業績というよりは、それ以前にピタゴラス学派等の貢献により、ユークリッドの時代より前から既に体系化されていた情報を再編纂したものである可能性が高い。

また、5巻、12巻は当時のプラトン学派数学者エウドクソスの業績であるし、10巻、13巻は同じくプラトン学派のテアイテトスの貢献によりもたらされたものと考えられる。 よって、ユークリッド本人は主に既存の知識と最新の学術成果を付け加えて、『原論』を編纂したものと考えられる。

14巻、15巻も存在するが、それらはユークリッドの時代より後になって付け加えられたものだと考えられている。ハイベア・メンゲ編纂の『エウクレイデス全集』では第5巻に14巻、15巻がスコリア（古注）とともに収録されている^[2]。

定義・公準・公理

『原論』ではいくつかの定義からはじまり、5つの公準（要請）と、5つ（又は9つ）の公理（共通概念）が提示されている。議論の前提となる点や線、直線、面、角、円、中心などの概念が定義され、次のような5つの公準を真であるとして受け入れることにより、作図の問題の基礎を明確にしている。

1. 任意の一点から他の一点に対して直線を引くこと
2. 有限の直線を連続的にまっすぐ延長すること
3. 任意の中心と半径で円を描くこと
4. すべての直角は互いに等しいこと
5. 直線が2直線と交わるとき、同じ側の内角の和が2直角より小さい場合、その2直線が限りなく延長されたとき、内角の和が2直角より小さい側で交わる。

これらのうち5番目の公準については古代より、他の公理、公準に比して突出して複雑であることから、自明とするには疑問とされていたが、この疑問により、近代に至ってこの公準が成立しないとする幾何学である非ユークリッド幾何学の発端となる。 さらに公準の後に次のような公理が示される。これはあらゆる学問に共通の真理として受け入れられるものであり、研究において常に参照すべきものとされている。

1. 同じものに等しいものは、互いに等しい
2. 同じものに同じものを加えた場合、その合計は等しい
3. 同じものから同じものを引いた場合、残りは等しい
4. ［不等なものに同じものを加えた場合、その合計は不等である］
5. ［同じものの2倍は、互いに等しい］
6. ［同じものの半分は、互いに等しい］
7. 互いに重なり合うものは、互いに等しい
8. 全体は、部分より大きい
9. ［2線分は面積を囲まない］

ただし［］で囲まれた公理は公理に含めないことがある。第5公理は第2公理から導かれる。また第9公理を現代的に言い換えると「異なる2点を通る直線はただ1本だけ存在する」となる。第9公理は幾何学に関するものなので、本来は公準に含められるものと考えられる。

原典と翻訳

日本語訳

• 『幾何学』 巻之1-3、山田昌邦訳、開拓使、1873年6月。NDLJP:828426。 - 第1巻の英訳の邦訳。
• 格拉克（クラーク）述『幾何学原礎』 7冊（首巻、1-6巻）、山本正至・川北朝鄰訳、文林堂、1875-1878。NDLJP:828479。 - 格拉克（クラーク）が静岡学問所で英語で口述した第1-6巻の邦訳。演習問題が追加されている。
• アイザック・トドハンター『宥克立（ユークリッド）』長澤龜之助訳、川北朝鄰閲、東京数理書院、1884年10月（原著1862年）。NDLJP:828946。 - I. Todhunter, Elements of Euclid for the Use of Schools and Colleges (1862)の邦訳。原著は、当時のイギリスの中等教育で用いるために『原論』を編集し練習問題等を加筆したものである。
• ハイベア、メンゲ 編『ユークリッド原論』中村幸四郎・寺阪英孝・伊東俊太郎・池田美恵訳・解説、共立出版。 - 全13巻の最初の邦訳。
  • （ハードカバー）1971年7月。ISBN 4-320-01072-8
    • （抜粋）池田美恵 訳『世界の名著 9』中央公論社、1972年2月。ISBN 978-4-12-400089-4。
    • （抜粋）池田美恵 訳『世界の名著 9』中央公論社〈中公バックス〉、1980年3月。ISBN 978-4-12-400619-3。
  • （縮刷版）1996年6月。ISBN 4-320-01513-4
  • （追補版）2011年5月。ISBN 978-4-320-01965-2
• ハイベア、メンゲ 編『エウクレイデス全集』 （全5巻）、東京大学出版会。 - 「エウクレイデス全集」の世界初の近代語訳。
  • 第1巻 原論I‐VI、斎藤憲・三浦伸夫訳・解説、2008年1月。ISBN 978-4-13-065301-5
  • 第2巻 原論VII－X、斎藤憲 訳・解説、2015年8月。ISBN 978-4-13-065302-2
  • 第4巻 デドメナ／オプティカ／カトプトリカ、斎藤憲・高橋憲一訳・解説、2010年5月。ISBN 978-4-13-065304-6

英訳

• Euclid (1956). The Thirteen Books of the Elements. Vol. 1 (Books I and II), Vol. 2 (Books III-IX), Vol. 3 (Books X-XIII). トーマス・L・ヒース（英語版）. Dover Publications. ISBN 0-486-60088-2 ISBN 0-486-60089-0 ISBN 0-486-60090-4. http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Euc.+1&redirect=true- vol. 1, vol. 2, vol. 3, vol. 3 c. 2

原典

• ヨハン・ルズヴィ・ハイベア（英語版）; ハインリッヒ・メンゲ（英語版）, ed (1883-1916). Euclidis Opera Omnia. 8 vols. & 1 suppl.. Leipzig: Teubner. http://www.wilbourhall.org/index.html#euclid - ギリシア語の原典とそのラテン語訳。全8巻+補遺1巻から成る。

脚注

[脚注の使い方]

1. 中村(1996), p. 489.より引用。
2. Heiberg&Menge(1883-1916)

参考文献

• ベノ・アルトマン『数学の創造者　ユークリッド原論の数学』大矢建正訳、シュプリンガー・ジャパン、2002年11月。ISBN 4-431-70969-X。
  • ベノ・アルトマン『数学の創造者　ユークリッド原論の数学』大矢建正訳、丸善出版、2002年11月。ISBN 978-4-621-06450-4。
• 斎藤憲『ユークリッド『原論』の成立 古代の伝承と現代の神話』東京大学出版会、1997年6月。ISBN 4-13-061301-4。
  • 斎藤憲『ユークリッド『原論』とは何か 二千年読みつがれた数学の古典』岩波書店〈岩波科学ライブラリー148〉、2008年9月。ISBN 978-4-00-007488-9。
• R.ハーツホーン『幾何学I 現代数学から見たユークリッド原論』難波誠訳、シュプリンガー・ジャパン、2007年10月。ISBN 978-4-431-10004-1。
  • R.ハーツホーン『幾何学I 現代数学から見たユークリッド原論』難波誠訳、丸善出版、2007年10月。ISBN 978-4-621-06236-4。
  • R.ハーツホーン『幾何学II 現代数学から見たユークリッド原論』難波誠訳、シュプリンガー・ジャパン、2008年2月。ISBN 978-4-431-10005-8。
  • R.ハーツホーン『幾何学II 現代数学から見たユークリッド原論』難波誠訳、丸善出版、2008年2月。ISBN 978-4-621-06312-5。

関連項目

• シラクサのアルキメデス
• クラウディオス・プトレマイオス
• バースのアデラード
• ペルガのアポロニウス
• プロクロス
• マテオ・リッチ
• 徐光啓

外部リンク

• ユークリッド原論（試案） - 山口大学 渡邉正研究室
• ユークリッドの原論 - 埼玉大学 酒井文雄研究室
• ユークリッド原論 北　秀和
• Weisstein, Eric W. "Elements". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Euclid's Postulates". mathworld.wolfram.com (英語).
• Euclid's Elements(in Ancient Greek) -- free download
• 古代ギリシャ語とラテン語訳のテキスト：ハイベア・メンゲ編纂の『エウクレイデス全集』のPDFスキャン（パブリック・ドメイン）