函数的平方根

数学において函数的平方根（かんすうてきへいほうこん、英: functional square root）あるいは半反復（half iterate）とは、合成の演算に関する函数の平方根のことである。言い換えると、ある函数 $g$ の函数的平方根 $f$ とは、すべての $x$ に対して $f (f (x)) = g (x)$ を満たすもののことを言う。

例えば、 $f (x) = 2 x 2$ は $g (x) = 8 x 4$ の函数的平方根である。

同様に、チェビシェフ多項式 $g (x) = T n (x)$ の函数的平方根は $f (x) = cos (\sqrt n arccos(x))$ である。これは一般には多項式ではない。

また、 $f (x) = x /(\sqrt 2 + x (1-\sqrt 2))$ は $g (x) = x /(2- x)$ の函数的平方根である。

$f$ が $g$ の函数的平方根であることは、 $f = g [½]$ あるいは $f = g ½$ と表記される。

指数函数の函数的平方根は、1950年にヘルムート・クネーザーによって研究された^[1]。

ℝ 上での $f (f (x)) = x$ の解（実数の対合）は、1815年にチャールズ・バベッジによって初めて研究された。この方程式はバベッジの函数方程式と呼ばれる^[2]。特殊解は $bc \neq -1$ に対して $f (x) = (b - x)/(1 + cx)$ である。これは $c = 0$ あるいは $| b | ≅ | c | ≫ 1$ ( $f (x) = 1/ x$ ) を含む。バベッジは、任意の与えられた解 $f$ に対して、任意の可逆函数 $Ψ$ による函数的共役 $\Psi ^{-1}\circ f\circ \Psi$ もまた解であることを注記している。

任意の函数的 $n$ -乗根（ $n = ½$ だけでなく、連続、負、無限小の $n$ も含む）をシステマティックに構成する手順は、シュレーダーの方程式の解に依る^[3]^[4] ^[5]。

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函数的平方根

例

関連項目

参考文献

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