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数学において、ニールス・アーベルの名にちなむアーベル方程式(アーベルほうていしき、英: Abel equation)とは、
あるいは
の形式で記述され、f の反復をコントロールする特殊な函数方程式のことを言う。
上述の二つの方程式は同値である。実際、α を可逆函数とすると、二番目の方程式は
のように書くことが出来る。すると x = α−1(y) とすることで、この方程式は
のように書くことが出来る。既知とされる函数 f(x) に対して、問題は函数 α−1 についての函数方程式を解くこととなる。また α−1(0) = 1 のような追加条件も必要となる可能性がある。
実パラメータ s に対して変数変換 sα(x) = Ψ(x) を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式 Ψ(f(x)) = s Ψ(x) に書き換えることが出来る。
さらに変換 F(x) = exp(sα(x)) を施すことで、ボッチャーの方程式 F(f(x)) = F(x)s が得られる。
はじめ、この方程式はより一般的な形式で記述されていた[1] [2]。その方程式は、一変数の場合ですら非自明なもので、特別な解析が必要とされた[3][4]。
線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できる[5]。
テトレーションの方程式は、f = exp であるようなアーベル方程式の特別な場合である。
整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表すものである。例えば
や
などのようになる。
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