ボッチャーの方程式

数学においてルシアン・ボッチャー（英語版）の名にちなむボッチャーの方程式（ボッチャーのほうていしき、英: Böttcher's equation）とは、次の函数方程式のことを言う。

${\displaystyle F(h(z))=(F(z))^{n}~.}$

但し、

• h は、a において位数 n ≥ 2 の超吸引的な不動点を持つ解析函数（すなわち、a の近傍において ${\displaystyle h(z)=a+c(z-a)^{n}+O((z-a)^{n+1})}$ ）；
• F は求める函数。

この函数方程式の対数は、シュレーダーの方程式に等しい。

解

ルシアン・ボッチャー（英語版）は1904年、F(a) = 0 であるような不動点 a のある近傍における解析解 F の存在を示した^[1]。この解はしばしば、ボッチャー座標（Böttcher coordinate）と呼ばれる（完全な証明は1920年、ジョセフ・リット（英語版）によって与えられた^[2]。しかし彼は、元の公式については気付いていなかった^[3]）。

ボッチャー座標（シュレーダー函数の対数）は、函数 zⁿ の不動点のある近傍において h(z) と共役になる。特に重要なケースは h(z) が次数 n の多項式で、a = ∞ である場合である^[4]。

応用

ボッチャーの方程式は、一変数の複素多項式の反復を研究する正則力学系の一分野において本質的な役割を果たす。

ボッチャー座標の大域的な性質については、ピエール・ファトゥ^[5]とエイドリアン・ドゥアディ（英語版）およびジョン・ハバード（英語版）によって研究された^[6]。

関連項目

• シュレーダーの方程式
• 外射線（英語版）

参考文献

1. Böttcher, L. E. (1904). “The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis (in Russian)”. Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch. 14: 155–234.
2. Ritt, Joseph (1920). “On the iteration of rational functions”. Trans. Amer. Math. Soc 21 (3): 348–356. doi:10.1090/S0002-9947-1920-1501149-6.
3. Stawiska, Małgorzata (15 November 2013). "Lucjan Emil Böttcher (1872–1937) - The Polish Pioneer of Holomorphic Dynamics". p. 9. arXiv:1307.7778 [math.HO]。
4. Cowen, Carl C. (1982). “Analytic solutions of Böttcher's functional equation in the unit disk”. Aequationes Mathematicae 24 (1): 187–194. doi:10.1007/BF02193043. ISSN 0001-9054.
5. Fatou, P. (1919). “Sur les équations fonctionnelles, I”. Bulletin de la Société Mathématique de France 47: 161–271. JFM 47.0921.02. http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1919__47__161_0.; Fatou, P. (1920). “Sur les équations fonctionnelles, II”. Bulletin de la Société Mathématique de France 48: 33–94. JFM 47.0921.02. http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1920__48__33_0.; Fatou, P. (1920). “Sur les équations fonctionnelles, III”. Bulletin de la Société Mathématique de France 48: 208–314. JFM 47.0921.02. http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1920__48__208_1.
6. Douady, A.; Hubbard, J. (1984). “Étude dynamique de polynômes complexes (première partie)”. Publ. Math. Orsay. http://portail.mathdoc.fr/PMO/afficher_notice.php?id=PMO_1984_A1.; Douady, A.; Hubbard, J. (1985). “Étude dynamique des polynômes convexes (deuxième partie)”. Publ. Math. Orsay. http://portail.mathdoc.fr/PMO/afficher_notice.php?id=PMO_1985_A3.