レイリー分布

レイリー分布（レイリーぶんぷ、英: Rayleigh distribution）は、連続型の確率分布である。イギリスの物理学者レイリー卿に因んで名付けられた。

レイリー分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	${\displaystyle \sigma >0}$
台	${\displaystyle [0,\infty )}$
確率密度関数	${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}}$
累積分布関数	${\displaystyle 1-e^{-x^{2}/2\sigma ^{2}}}$
期待値	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$
中央値	${\displaystyle \sigma {\sqrt {\ln(4)}}}$
最頻値	${\displaystyle \sigma }$
分散	${\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}}$
尖度	${\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}}$
エントロピー	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$
モーメント母関数	${\displaystyle {\begin{matrix}1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}\\\quad \times \;{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)\end{matrix}}}$
特性関数	${\displaystyle {\begin{matrix}1\!-\!\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}\\\quad \times \;{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left(\operatorname {erfi} \!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!-\!i\right)\end{matrix}}}$

定義と性質

確率変数を実数 x (x ≥ 0) とするときのレイリー分布の確率密度関数は以下の式で定義される。

${\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

期待値は ${\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}$、分散は ${\displaystyle \left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}}$ である。

確率変数の観測値が X_i として得られたとき、パラメータ σ の最尤推定値は

${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}}}}$

である。

参考文献

• 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布
• ワイブル分布

外部リンク

• 朱鷺の杜Wiki
• GSL reference manual Japanese version