Valutazione p-adica

In teoria dei numeri, per un dato numero primo ${\displaystyle p}$, la valutazione p-adica di un intero ${\displaystyle n}$ diverso da zero è il maggiore esponente ${\displaystyle v}$ tale che ${\displaystyle p^{v}}$ divida ${\displaystyle n}$. La valutazione p-adica di 0 è per definizione infinito. È comunemente denotato come ${\displaystyle v_{p}(n)}$. Se ${\displaystyle {\tfrac {n}{d}}}$ è un numero razionale ai minimi termini, così che ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle d}$ siano primi tra loro, allora ${\displaystyle v_{p}({\tfrac {n}{d}})}$ è uguale a ${\displaystyle v_{p}(n)}$ se ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle n}$, oppure è uguale a ${\displaystyle -v_{p}(d)}$ se ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle d}$, mentre è uguale a 0 se non divide nessuno dei due. L'applicazione maggiore della valutazione p-adica è nella costruzione del campo dei numeri p-adici.^[1]

Definizione e proprietà

Numeri interi

Se ${\displaystyle p}$ appartiene a ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Z} } }$, allora la valutazione p-adica per ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ è definita come ${\displaystyle v_{p}:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {N} }$^[2]

${\displaystyle {\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{v\in \mathbb {N} :p^{v}\mid n\}&{\text{se }}n\neq 0\\\infty &{\text{se }}n=0\end{cases}}}}$

Numeri razionali

La valutazione p-adica può essere estesa ai numeri razionali. SI può definire come ${\displaystyle v_{p}:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Z} }$^[3]

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {a}{b}}\right)=\nu _{p}(a)-\nu _{p}(b).}$

Alcune proprietà sono:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(m\cdot n)&=\nu _{p}(m)+\nu _{p}(n).\\[5px]\nu _{p}(m+n)&\geq \inf {\bigl \{}\nu _{p}(m),\nu _{p}(n){\bigr \}}.\end{aligned}}}}$

In aggiunta, se ${\displaystyle {\displaystyle \nu _{p}(m)\neq \nu _{p}(n)},}$allora

${\displaystyle {\displaystyle \nu _{p}(m+n)=\inf {\bigl \{}\nu _{p}(m),\nu _{p}(n){\bigr \}}}}$

dove ${\displaystyle \inf }$ è l'infimo (il minore tra i due).

Il valore assoluto p-adico

Il valore assoluto p-adico su ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ è definito come ${\displaystyle |x|_{p}:\mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle |x|_{p}={\begin{cases}p^{-\nu _{p}(x)}&{\text{se }}x\neq 0\\0&{\text{se }}x=0\end{cases}}}$

Il valore assoluto p-adico soddisfa le seguenti proprietà:

Non-negatività	${\displaystyle |a|_{p}\geq 0}$
Definizione positiva	${\displaystyle |a|_{p}=0\iff a=0}$
Moltiplicatività	${\displaystyle |ab|_{p}=|a|_{p}|b|_{p}}$
Subadditività	${\displaystyle |a+b|_{p}\leq |a|_{p}+|b|_{p}}$
Ultrametricità	${\displaystyle |a+b|_{p}\leq \max \left(|a|_{p},|b|_{p}\right)}$
Simmetria	${\displaystyle |-a|_{p}=|a|_{p}}$

Uno spazio metrico può essere formato sull'insieme ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ con una metrica definita da ${\displaystyle d:\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle d(x,y)=|x-y|_{p}.}$

A volte ci si riferisce al valore assoluto p-adico come "norma p-adica", nonostante non sia una norma in quanto non soddisfa il requisito di omogeneità.