Toro (geometria)

In geometria il toro (dal latino torus, cuscino a forma di ciambella) è una superficie di rotazione ottenuta dalla rivoluzione di una circonferenza in uno spazio tridimensionale intorno a un asse ad essa complanare.

Il toro nella geometria euclidea

Rappresentazione mediante equazioni parametriche

Una rappresentazione parametrica del toro, nell'usuale spazio euclideo tridimensionale, è data da:^[1]

${\displaystyle {\begin{cases}x(u,v)=(R+r\cos u)\cos v\\y(u,v)=(R+r\cos u)\sin v\\z(u,v)=r\sin u,\end{cases}}}$

dove ${\displaystyle R>0}$ è la distanza dal centro del tubo al centro del toro, ${\displaystyle r>0}$ è il raggio del tubo e ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ variano in ${\displaystyle [0,2\pi ).}$

L'equazione in coordinate cartesiane, che individua un toro il cui asse di simmetria coincide con l'asse ${\displaystyle z,}$ è data da:

${\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

Proprietà metriche

L'area esterna e il volume del toro sono dati rispettivamente da:^[2]

${\displaystyle A=2\pi r\ 2\pi R=4\pi ^{2}Rr,}$

${\displaystyle V=\pi r^{2}\ 2\pi R=2\pi ^{2}Rr^{2}.}$

I risultati derivano direttamente dai due teoremi di Pappo-Guldino.^[3]

Topologia del toro

Costruzione

Un toro topologico è uno spazio topologico omeomorfo ad un toro nello spazio euclideo. Esso può essere definito come il prodotto di due circonferenze ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$ Le equazioni parametriche che abbiamo dato per il toro in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ individuano un omeomorfismo con l'insieme ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

Un modo equivalente per costruire un toro topologico è quello di considerare un quadrato e "incollare" i lati opposti. Questo corrisponde a definire sul quadrato

${\displaystyle Q=[0,1]\times [0,1]\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$

la relazione di equivalenza ${\displaystyle \sim _{T}}$ tale che ${\displaystyle x\sim _{T}y}$ se e solo se ${\displaystyle x=y}$ è un unico punto interno oppure ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono su due lati opposti ed hanno una coordinata uguale. Con questa relazione di equivalenza si può definire lo spazio quoziente ${\displaystyle Q/\sim _{T}}$ che è appunto un toro topologico.

Un ulteriore modo per definire il toro topologico è quello di costruire lo spazio quoziente del ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ rispetto al sottogruppo ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}.}$

Proprietà topologiche

• Il toro è una superficie, quindi una varietà differenziabile di dimensione 2.
• Il toro è compatto, connesso, ma non semplicemente connesso. Infatti il suo gruppo fondamentale è ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.
• Il rivestimento universale del toro è omeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ Quindi i gruppi di omotopia di grado maggiore di 1 del toro sono tutti banali.
• La caratteristica di Eulero^[4] del toro è zero.
• Il genere del toro è 1.

Suddivisione del toro che richiede 7 colori

• Sul toro non valgono molti teoremi della geometria piana. Ad esempio, non vale il teorema dei quattro colori. Nel disegno a fianco il toro è stato diviso in sette regioni, a due a due tutte confinanti: quindi sono necessari sette colori diversi affinché due regioni confinanti non abbiano lo stesso colore. È stata dimostrata una generalizzazione del teorema dei quattro colori da cui consegue che sette colori sono sufficienti per colorare qualsiasi suddivisione del toro.^[5]
• Il toro, a meno di diffeomorfismi, è l'unica superficie compatta connessa orientabile su cui è possibile definire un campo vettoriale continuo senza punti critici (vedere varietà pettinabili).

Il toro solido

Il toro solido è l'oggetto tridimensionale delimitato dal toro (toro incluso).^[6] Si tratta cioè della porzione di spazio contenuta all'interno del toro inclusa la parte di spazio che la delimita. Topologicamente, si tratta di uno spazio omeomorfo al prodotto ${\displaystyle D\times S^{1}}$ del disco bidimensionale^[7]

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\},}$

con la circonferenza ${\displaystyle S^{1}}$. Si tratta di una 3-varietà con bordo; il bordo consiste appunto nel toro. Il suo gruppo fondamentale è ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Si tratta infine del corpo con manici avente genere 1.

Il toro solido è un oggetto importante nello studio delle 3-varietà e più in generale nella topologia della dimensione bassa.

Note

1. Equations for the Standard Torus, su geom.uiuc.edu, 6 luglio 1995. URL consultato il 21 luglio 2012 (archiviato dall'url originale il 29 aprile 2012).
2. Eric W. Weisstein, Torus, su: mathworld
3. A. W. Goodman e G. Goodman, Generalizations of the Theorems of Pappus, su JSTOR, The American Mathematical Monthly. URL consultato il 26 dicembre 2015.
4. Euler characteristic, su: nLab.
5. Kenneth Appel, Wolfgang Haken, Solution of the Four Color Map Problem, Scientific American, vol. 237 n. 4 pp. 108–121.
6. Kenneth Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, 2nd, John Wiley & Sons, 2004, p. 198, ISBN 9780470871355.
7. Yukio Matsumoto, An Introduction to Morse Theory, Translations of mathematical monographs, vol. 208, American Mathematical Society, 2002, p. 188, ISBN 9780821810224.

Voci correlate

• Superficie
• Cilindro
• Sfera
• Superficie torica

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• Wikizionario
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Collegamenti esterni

• (EN) torus, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Toro, su MathWorld, Wolfram Research.
• Le sezioni circolari di un toro, su dhallewin.it. URL consultato il 12 luglio 2014 (archiviato dall'url originale il 14 luglio 2014).
• Torus Games: giochi (scaricabili gratuitamente) che illustrano la topologia del toro e della bottiglia di Klein, su geometrygames.org.

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