Teorema di Stokes

In matematica, in particolare in geometria differenziale, il teorema di Stokes è un enunciato riguardante l'integrazione delle forme differenziali che generalizza diversi teoremi di calcolo vettoriale, quali il teorema della divergenza o il teorema del rotore. Prende il nome da Sir George Gabriel Stokes (1819-1903), nonostante la prima formulazione del teorema sia stata attribuita a William Thomson (Lord Kelvin), che la inviò in una lettera a Stokes nel luglio del 1850.^[1]

Introduzione

Il teorema fondamentale del calcolo integrale stabilisce che se ${\displaystyle f}$ è una funzione reale che ammette primitiva su un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, l'integrale di ${\displaystyle f}$ su tale intervallo può essere calcolato tramite una sua primitiva:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$

Poiché ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} x}}=f}$, si può interpretare ${\displaystyle \mathrm {d} F(x)=f(x)\mathrm {d} x}$ nel contesto più generale delle forme differenziali come il differenziale esterno della 0-forma ${\displaystyle F(x)}$.

Il teorema di Stokes generalizza il teorema fondamentale del calcolo considerando una n-forma ${\displaystyle \omega }$ e il suo differenziale esterno ${\displaystyle d\omega }$. L'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ è una varietà differenziabile di dimensione uno, avente come frontiera l'insieme ${\displaystyle \{a,b\}}$: l'integrazione di ${\displaystyle f}$ su questo intervallo può quindi essere estesa all'integrazione su una varietà ${\displaystyle M}$ di ordine maggiore, e per far questo è necessario che ${\displaystyle M}$ sia orientabile e la forma differenziale sia a supporto compatto. Il bordo di ${\displaystyle M}$, indicato con ${\displaystyle \partial M}$, è ancora una varietà ed eredita l'orientazione di ${\displaystyle M}$.

Il teorema

Sia ${\displaystyle \Omega }$ una varietà differenziabile orientata di dimensione n e sia ${\displaystyle \alpha }$ una n-forma differenziale a supporto compatto su ${\displaystyle \Omega }$.

Si supponga inizialmente che ${\displaystyle \alpha }$ sia a supporto compatto nel dominio di una carta orientata ${\displaystyle \{U,\phi \}}$. L'integrale di ${\displaystyle \alpha }$ su ${\displaystyle \Omega }$ è definito come:

${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\phi (U)}\left(\phi ^{-1}\right)^{*}\alpha }$

ovvero attraverso il pull-back di ${\displaystyle \alpha }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Più in generale, l'integrale di ${\displaystyle \alpha }$ su ${\displaystyle \Omega }$ è definito considerando una partizione dell'unità ${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$ associata al ricoprimento localmente finito ${\displaystyle \{U_{i},\phi _{i}\}}$ di carte (orientate in modo coerente):

${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\,\alpha }$

dove ogni termine nella somma è valutato attraverso il pull-back in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ precedentemente definito. Tale definizione non dipende dalla scelta della partizione dell'unità e delle carte.

Enunciato

Il teorema di Stokes afferma che se ${\displaystyle \omega }$ è una (n-1)-forma a supporto compatto su ${\displaystyle \Omega }$ e ${\displaystyle \partial \Omega }$ è la frontiera di ${\displaystyle \Omega }$, allora:

${\displaystyle \int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\int _{\partial \Omega }\omega \ \ \left(=\oint _{\partial \Omega }\omega \right)}$

dove ${\displaystyle \mathrm {d} \omega }$ è la derivata esterna di ${\displaystyle \omega }$, definita per mezzo della sola struttura di varietà. Ovvero, l'integrale di ogni forma differenziale a supporto compatto ${\displaystyle \omega }$ sulla frontiera di una varietà orientata ${\displaystyle \Omega }$ è pari all'integrale della sua derivata esterna valutato su tutta ${\displaystyle \Omega }$.

Casi particolari

Teorema del gradiente

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del gradiente.

Il teorema del gradiente afferma che:

${\displaystyle \int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi }$

per ogni 0-forma ${\displaystyle \phi }$ definita su una qualche curva differenziabile ${\displaystyle \gamma \subset \mathbb {R} ^{n}}$. Si tratta della versione del teorema di Stokes con 1-forme differenziali definite su una varietà di dimensione 1. L'enunciato opposto afferma che data una forma differenziale ${\displaystyle \omega }$ definita su un dominio contraibile, se l'integrale di ${\displaystyle \omega }$ su ogni varietà chiusa sia nullo allora esiste una forma ${\displaystyle \psi }$ tale che ${\displaystyle \omega =d\psi }$. Su un dominio contraibile ogni forma chiusa è esatta, e tale risultato è riassunto dal lemma di Poincaré.

Teorema del rotore

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del rotore.

Il teorema del rotore afferma che il flusso del rotore di determinati campi vettoriali attraverso superfici regolari dotate di bordo è uguale alla circuitazione del campo lungo la frontiera della superficie:

${\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\cdot d\mathbf {s} =\oint _{\partial S}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$.

dove ${\displaystyle \mathbf {F}$ :\Omega \to \mathbb {R} ^{3}} un campo vettoriale di classe ${\displaystyle C^{1}}$, con ${\displaystyle \Omega }$ un dominio regolare contenuto in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, e ${\displaystyle S:D\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$ è una superficie regolare a tratti dotata di frontiera ${\displaystyle \partial S}$.

Il campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {F} }$ può essere considerato come una 1-forma, ed in tal caso il rotore è la derivata esterna.

Teorema della divergenza

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della divergenza.

Una regione ${\displaystyle V}$ delimitata da ${\displaystyle \partial V}$ (S in figura), con ${\displaystyle \mathbf {n} }$ il versore normale uscente.

Si consideri un insieme ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}$ compatto delimitato da una superficie liscia ${\displaystyle \partial V}$. Se ${\displaystyle \mathbf {F} }$ è un campo vettoriale differenziabile con continuità (di classe ${\displaystyle C^{1}}$) definito in un intorno di ${\displaystyle V}$, si ha:^[2]

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,dv=\oint _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} }$

dove ${\displaystyle d\mathbf {s} =\mathbf {n} \ dS}$ è l'elemento di superficie (${\displaystyle \mathbf {n} }$ è il versore uscente normale). In altri termini, il flusso di ${\displaystyle \mathbf {F} }$ attraverso la superficie chiusa ${\displaystyle \partial V}$ coincide con l'integrale della divergenza di ${\displaystyle \mathbf {F} }$ svolto nel volume ${\displaystyle V}$ di cui la superficie è frontiera.^[3] Si può utilizzare il teorema di Stokes per uguagliare l'integrale su un volume n-dimensionale della divergenza di un campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {F} }$ definito sulla regione ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ all'integrale di ${\displaystyle \mathbf {F} }$ sulla superficie (di dimensione n-1) che costituisce il bordo di ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle \int _{U}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV_{n}=\oint _{\partial U}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS_{n-1}}$

In una notazione più concisa si può scrivere:

${\displaystyle \int _{V}{\dfrac {\partial F_{i}}{\partial x_{i}}}dV=\int _{S}F_{i}n_{i}\,dS}$

sicché rimpiazzando ${\displaystyle \mathbf {F} }$ con un campo tensoriale ${\displaystyle T}$ di ordine n si ottiene la generalizzazione:^[4]

${\displaystyle \int _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}dV=\int _{S}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,dS}$

dove si verifica la contrazione degli indici in entrambi i membri della relazione, per almeno un indice. Si può estendere la precedente relazione, che vale in tre dimensioni, a varietà di dimensione arbitraria.^[5][6]

Note

1. Olivier Darrigol. Electrodynamics from Ampere to Einstein, p. 146. Oxford University Press, 2002
2. M.R. Spiegel, S. Lipcshutz, D. Spellman, Vector Analysis (2nd Edition), Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7.
3. Eric Weisstein, MathWorld - Divergence Theorem, su mathworld.wolfram.com, 2010.
4. K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3.
5. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, Gravitation, W.H. Freeman & Co, 1973, pp. 85–86, §3.5, ISBN 0-7167-0344-0.
6. R. Penrose, The Road to Reality, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1.

Bibliografia

• (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. "Stokes' Theorem." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, p. 43, 1953.
• (EN) Stewart, James. Calculus: Concepts and Contexts. 2nd ed. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2001.
• (EN) Stewart, James. Calculus: Early Transcendental Functions. 5th ed. Brooks/Cole, 2003.
• (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
• (DE) Joos, Georg. Theoretische Physik. 13th ed. Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 1980. ISBN 3-400-00013-2

Voci correlate

• Derivata esterna
• Forma differenziale
• Teorema del gradiente
• Teorema del rotore
• Teorema della divergenza
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Collegamenti esterni

• (EN) L.D. Kudryavtsev, Stokes formula, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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