Teorema di Ceva

Il teorema di Ceva è un noto teorema in geometria elementare. Deve il suo nome a Giovanni Ceva, che ne diede dimostrazione nella sua opera De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio del 1678, anche se il primo a dimostrarlo fu Yusuf al-Mu'tamin ibn Hud, attorno all'XI secolo. Si definisce ceviana una retta che congiunge un vertice con un punto del lato opposto di un triangolo. Il teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché tre ceviane si incontrino in uno stesso punto.

Enunciato

Siano A, B, C i vertici di un triangolo; li si congiungano con un punto O del piano e si indichino con D, E, F le intersezioni con i lati del triangolo.
Si ha la seguente relazione:

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.}$

Dimostrazione

Si considerino i triangoli ${\displaystyle \triangle AFO}$ e ${\displaystyle \triangle FBO}$. Si può notare che hanno in comune un'altezza relativa ai due segmenti ${\displaystyle AF}$ e ${\displaystyle FB}$, basi rispettivamente del primo e del secondo triangolo. Da questo, tenendo conto della formula ${\displaystyle A={\frac {bh}{2}}}$, per l'area di un triangolo, si deduce che il rapporto tra le aree dei due triangoli è uguale al rapporto tra le rispettive basi:

${\displaystyle {\frac {\triangle AFO}{\triangle FBO}}={\frac {AF}{FB}}}$.

Similmente si può dimostrare che vale anche:

${\displaystyle {\frac {\triangle AFC}{\triangle FBC}}={\frac {AF}{FB}},}$

e di conseguenza, per la proprietà transitiva dell'uguaglianza si giunge a:

${\displaystyle {\frac {\triangle AFC}{\triangle FBC}}={\frac {\triangle AFO}{\triangle FBO}}.}$

Facendo riferimento alla figura, e tenendo conto della proprietà delle proporzioni:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\Longrightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}={\frac {a-c}{b-d}}}$

possiamo infine scrivere che:

${\displaystyle {\frac {\triangle AOC}{\triangle OBC}}={\frac {AF}{FB}}.}$

Ragionando in modo analogo per i lati ${\displaystyle BC}$ e ${\displaystyle CA}$ scriveremo anche le proporzioni:

${\displaystyle {\frac {\triangle BOA}{\triangle AOC}}={\frac {BD}{DC}}{\text{ e }}{\frac {\triangle CBO}{\triangle BAO}}={\frac {CE}{EA}}}$.

Moltiplicando tra loro le tre proporzioni così ottenute si nota che i vari termini si semplificano a vicenda dando come risultato 1:

${\displaystyle {\frac {\triangle AOC}{\triangle OBC}}\cdot {\frac {\triangle BOA}{\triangle AOC}}\cdot {\frac {\triangle OBC}{\triangle BOA}}=1.}$

Forma trigonometrica

La formula del teorema può essere scritta in una forma trigonometrica equivalente:

${\displaystyle {\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\cdot {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}\cdot {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}=1.}$

Una possibile dimostrazione di ciò avviene attraverso il teorema dei seni.

Voci correlate

• Ceviana
• Teorema di Menelao

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Collegamenti esterni

• Dimostrazione e conseguenze del teorema, su lorenzoroi.net.

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