Teorema di Cauchy-Hadamard

In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Cauchy-Hadamard o formula di Cauchy-Hadamard, il cui nome è dovuto a Augustin-Louis Cauchy e Jacques Hadamard, descrive il raggio di convergenza di una serie di potenze.

Fu pubblicato nel 1821 da Cauchy, ma rimase relativamente sconosciuto fino a quando Hadamard lo riscoprì.^[1] La prima pubblicazione di Hadamard del teorema risale al 1888.^[2]

Il teorema

Data una serie formale di potenze in una variabile complessa ${\displaystyle z}$ della forma:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$

con ${\displaystyle a,c_{n}\in \mathbb {C} }$, il raggio di convergenza di ${\displaystyle f}$ nel punto ${\displaystyle a}$ è dato da:

${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\big (}|c_{n}|^{1/n}{\big )}}$

dove ${\displaystyle \limsup }$ denota il limite superiore, cioè il limite dell'estremo superiore dei valori della successione dopo la posizione n-esima per n che tende a infinito. Se i termini della successione sono illimitati in modo che il limite superiore è ∞, allora la serie di potenze non converge vicino ad ${\displaystyle a}$, mentre se il limite superiore è 0 allora il raggio di convergenza è ∞, ovvero la serie converge in tutto il piano complesso.

Dimostrazione

Si assuma senza perdita di generalità che ${\displaystyle a=0}$. Si vuole mostrare che la serie di potenze ${\displaystyle \sum c_{n}z^{n}}$ converge per ${\displaystyle |z|<R}$ e diverge per ${\displaystyle |z|>R}$.

Sia ${\displaystyle |z|<R}$ e ${\displaystyle t=1/R}$ diverso da zero e infinito. Per ogni ${\displaystyle \epsilon >0}$ esiste solo un numero finito di ${\displaystyle n}$ tale che:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\geq t+\epsilon }$

Si ha che ${\displaystyle |c_{n}|\leq (t+\epsilon )^{n}}$ per tutti i ${\displaystyle c_{n}}$ eccetto un numero finito di essi: quindi la serie ${\displaystyle \sum c_{n}z^{n}}$ converge se ${\displaystyle |z|<1/(t+\epsilon )}$.

D'altra parte, per ${\displaystyle \epsilon >0}$ si ha ${\displaystyle |c_{n}|\geq (t-\epsilon )^{n}}$ per infiniti ${\displaystyle c_{n}}$, in modo che se:

${\displaystyle |z|=1/(t-\epsilon )>R}$

si nota che la serie non può convergere in quanto il suo n-esimo termine non tende a 0. Il caso in cui ${\displaystyle t}$ è zero o infinito segue con facilità.^[3]

Caso di più variabili complesse

Sia ${\displaystyle \alpha }$ un multi-indice (una n-upla di interi), con ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}$. Allora ${\displaystyle f(x)}$ converge con raggio di convergenza ${\displaystyle \rho }$ (che è un multi-indice) alla serie di potenze:

${\displaystyle \sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }:=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}(z_{1}-a_{1})^{\alpha _{1}}\ldots (z_{n}-a_{n})^{\alpha _{n}}}$

se e soltanto se:

${\displaystyle \lim _{|\alpha |\to \infty }{\sqrt[{|\alpha |}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1}$

Una dimostrazione può essere trovata in Introduction to Complex Analysis Part II - Functions in several Variables di B.V.Shabat.