Teorema di Casorati-Weierstrass

Il teorema di Casorati-Weierstrass in analisi complessa descrive il particolare comportamento di funzioni olomorfe nei pressi di singolarità essenziali. Il teorema è così chiamato in onore di Karl Weierstraß e Felice Casorati.

Modello del grafico di exp(1/z) centrato nella singolarità essenziale 0. La tonalità rappresenta l'argomento del valore, l'intensità il modulo. L'immagine mostra come arbitrariamente vicino allo zero la funzione assuma ogni valore e come avvicinandosi da punti diversi essa abbia comportamenti diversi.

Premesse

Sia U un sottoinsieme aperto del piano complesso contenente il numero z₀, e sia f una funzione olomorfa f definita in U − {z₀}. Il numero complesso z₀ prende il nome di singolarità essenziale per f se non esiste alcun numero naturale n tale che il limite

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}f(z)\cdot (z-z_{0})^{n}}$

esista. Per esempio, la funzione f(z) = exp(1/z) ha una singolarità essenziale in z₀ = 0, mentre la funzione g(z) = 1/z³ no (ha infatti un polo in 0 di ordine 3).

Condizione necessaria e sufficiente perché un punto z₀ sia una singolarità essenziale isolata per f è che

${\displaystyle \limsup _{z\rightarrow z_{0}}|f(z)|=\infty }$

e

${\displaystyle \liminf _{z\rightarrow z_{0}}|f(z)|=0.}$

Enunciato

Se una funzione complessa olomorfa f ha una singolarità essenziale in z₀, allora per ogni intorno V di z₀ contenuto nel campo di olomorfia U di f, f(V − {z₀}) è denso in C.

O, equivalentemente:

Sia ε > 0 e sia I un intorno arbitrario di z₀. Per ogni numero complesso w esistono infiniti punti z ∈ I tale che |f(z) - w| < ε.

Prima dimostrazione

Sia w un numero complesso arbitrario. Se z₀ è una singolarità essenziale per f(z), è tale anche per la funzione ${\displaystyle f(z)-w}$. Si avrà quindi:

${\displaystyle \liminf _{z\rightarrow z_{0}}|f(z)-w|=0,}$

e dalla definizione di limite inferiore segue subito il teorema.

Seconda dimostrazione

Forniamo una seconda dimostrazione in cui non si fa uso della proprietà con il limite inferiore. La dimostrazione procede per assurdo.^[1]

Supponiamo per assurdo che ${\displaystyle \exists w\in \mathbb {C} ,\exists \epsilon >0,\exists \delta >0}$ tali che ${\displaystyle \forall z:|z-a|<\delta ,|f(z)-w|>\epsilon }$. Allora

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}{\frac {|f(z)-w|}{|z-a|}}=+\infty ,}$

e ciò implica che la funzione ${\displaystyle {\frac {f(z)-w}{z-a}}}$ ha un polo in ${\displaystyle z=a.}$ Sia ${\displaystyle m}$ il suo ordine. Dunque

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}|z-a|^{m+1}{|f(z)-w|}=0}$

e per la disuguaglianza triangolare

${\displaystyle |f(z)|\leq |f(z)-c|+|c|}$

si ha che

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow a}|z-a|^{m+1}|f(z)|=0.}$

Ma come visto nelle premesse, questo è assurdo, poiché la funzione ha una singolarità essenziale in ${\displaystyle a}$ e tale limite non dovrebbe esistere.

Sviluppi

Il teorema venne considerevolmente rafforzato dal teorema di Picard che afferma che, utilizzando la notazione di cui sopra, ${\displaystyle f}$ assume ogni valore complesso, con una sola possibile eccezione, infinite volte in ${\displaystyle V.}$