Slerp

Slerp (contrazione di spherical linear interpolation) è una formula per l'interpolazione di rotazioni tale che l'interpolante abbia velocità angolare costante. Introdotta nel 1985 da Ken Shoemake,^[1] slerp è comunemente usata in animazione digitale e computer grafica.

Formulazione

L'idea alla base di slerp si basa sul fatto che il gruppo di Lie delle rotazioni ${\displaystyle SO(3)}$ condivide la stessa metrica della sfera rappresentante il gruppo dei quaternioni unitari (comunemente usati per parametrizzare rotazioni nello spazio tridimensionale). L'interpolazione di rotazioni a velocità costante può essere perciò ottenuta interpolando sulla superficie della sfera (le cui geodetiche sono i cerchi massimi). Slerp tra due quaternioni unitari ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$ e ${\displaystyle \mathbf {q} _{1}}$ (ovvero tali che ${\displaystyle |\mathbf {q} _{0}|=|\mathbf {q} _{1}|=1}$) con parametro di interpolazione ${\displaystyle t\in [0,1]}$ può essere definita come^[1]

${\displaystyle \operatorname {slerp} (t|\mathbf {q} _{0},\mathbf {q} _{1})=\mathbf {q} _{0}\left(\mathbf {q} _{0}^{-1}\mathbf {q} _{1}\right)^{t}}$.

Glenn Devis introdusse una formulazione alternativa, solitamente più conveniente in applicazioni pratiche^[1]

${\displaystyle \operatorname {slerp} (t|\mathbf {q} _{0},\mathbf {q} _{1})={\frac {\sin \left((1-t)\theta \right)}{\sin \theta }}\mathbf {q} _{0}+{\frac {\sin(t\theta )}{\sin \theta }}\mathbf {q} _{1}}$

dove ${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left(\mathbf {q} _{0}\mathbf {q} _{1}\right)}$.

Note

1. Shoemake (1985)

Bibliografia

• Ken Shoemake, Animating Rotation with Quaternion Curves (PDF), SIGGRAPH, vol. 19, n. 3, San Francisco, Association for Computing Machinery, luglio 1985, pp. 245-254.

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