Rette parallele e perpendicolari nel piano cartesiano

In geometria analitica è possibile studiare, e se necessario imporre, le condizioni di parallelismo e perpendicolarità fra rette nel piano cartesiano. Tali condizioni variano a seconda che le rette siano scritte in forma cartesiana (implicita o esplicita) o in forma parametrica.

Rette perpendicolari nel piano cartesiano.

In forma cartesiana semplice

Consideriamo due rette nel piano, descritte in forma implicita:

${\displaystyle ax+by+c=0}$

${\displaystyle a'x+b'y+c'=0}$

Queste due rette sono:^[1]

• parallele ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle ab'=ba'}$;
• perpendicolari ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle aa'=-bb'}$.

Scritte in forma esplicita rispetto alla stessa variabile:

${\displaystyle y=mx+n}$

${\displaystyle y=m'x+n'}$

sono:^[2]

• parallele ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle m=m'}$;
• perpendicolari ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle mm'=-1}$.

In forma parametrica

Consideriamo due rette nel piano, descritte in forma parametrica:

${\displaystyle r:\left\{{\begin{matrix}x=x_{r}+kl_{r}\\y=y_{r}+km_{r}\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle s:\left\{{\begin{matrix}x=x_{s}+kl_{s}\\y=y_{s}+km_{s}\end{matrix}}\right.}$

Queste due rette sono:

• parallele ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle (l_{r},m_{r})=a\cdot (l_{s},m_{s})}$ con ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ fattore di proporzionalità;
• perpendicolari ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle (l_{r},m_{r})\cdot (l_{s},m_{s})=0}$ (prodotto scalare nullo).