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algoritmo Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
La regola di Horner o, più correttamente, l'algoritmo di Horner è un algoritmo inventato da William George Horner che permette di valutare un polinomio
svolgendo addizioni e moltiplicazioni, anziché le addizioni e moltiplicazioni richieste con il metodo di valutazione tradizionale. Esso è quindi particolarmente adatto qualora si ricerchino radici reali di equazioni polinomiali con metodi iterativi.
Il polinomio può infatti essere scritto nella forma:
Pertanto, il valore di tale polinomio si può calcolare sfruttando la definizione ricorsiva:
in cui .
Il metodo di Horner permette di calcolare con meno operazioni anche la derivata prima e la derivata seconda di .
A tal fine, si introduca il concetto di polinomio ridotto :
con , , e generico punto.
Sviluppando in serie di Taylor nell'intorno del generico punto , si ricava, dopo alcuni passaggi algebrici:
nella quale , e .
Analogamente per la derivata seconda, riscrivendo il polinomio ridotto a partire da , si ottiene:
con , e .
Note le approssimazioni delle radici reali di , è possibile, attraverso l'applicazione ricorsiva della definizione di polinomio ridotto, determinare il valore delle radici di con precisione arbitraria. Per fare ciò:
Si osservi che il metodo consente di ottenere un'approssimazione delle radici di a causa degli errori di arrotondamento che si commettono nel calcolo. Per ridurre tali errori si suggerisce generalmente di determinare le radici considerando l'ordine crescente dei loro valori assoluti ed, eventualmente, di utilizzare le soluzioni ottenute come soluzioni di partenza per riapplicare il metodo iterativo (bisezione, tangenti, secanti o regula falsi) direttamente al polinomio .
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