Proiezione conica equidistante

La proiezione conica equidistante è una proiezione cartografica di sviluppo conica elaborata sin dall'antichità classica, ed in effetti corrisponde alla prima proiezione proposta da Tolomeo.^[1] La forma definitiva della proiezione fu raggiunta dal cartografo francese Guillaume Delisle nel 1745^[2].

Carta tolemaica basata sulla proiezione conica equidistante

La proiezione conica equidistante ha l'utile proprietà che le distanze lungo i meridiani sono conservate in proporzione. Anche le distanze lungo i due paralleli "standard" scelti dal cartografo per costruire la carta, sono conservate in modo proporzionale ed i due paralleli sono privi di distorsioni.

Questa proiezione è spesso utilizzata per rappresentare aree geografiche allungate in senso est-ovest, e i paralleli "standard" sono scelti a un sesto dal margine meridionale e a un sesto dal margine settentrionale dell'area da rappresentare. In questo modo la distorsione è minimizzata nella regione che interessa.

Formule

Il mondo rappresentato con la proiezione conica equidistante. Sono stati scelti come paralleli "standard" il 20°N e il 60°N

In questa proiezione si stabilisce un punto "assiale" sulla superficie della sfera, corrispondente alla direzione dell'asse del cono. Nella descrizione che segue ci si riferisce alla Terra e il punto "assiale" è il Polo Nord, tuttavia mutatis mutandis il discorso vale anche per un'altra sfera e/o per un altro punto "assiale".

Con:

• r la distanza sulla carta dal centro dell'arco di cerchio
• R il raggio terrestre
• α l'angolo inscritto espresso in radianti che insiste sull'arco che va da un punto sulla Terra al punto "assiale", cioè la distanza sulla Terra divisa per R (quando il Polo Nord viene scelto come punto "assiale", indicando con ${\displaystyle \beta \,}$ la latitudine espressa in radianti, vale: ${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}-\beta }$).
• s la scala lungo il raggio^[3], che è allo stesso tempo la scala lungo i paralleli standard.
• n il numero di gradi sessagesimali (generalmente compreso fra 0 e 1) in cui viene raffigurato sulla carta un grado di longitudine sferica; l'intera carta sarà costituita perciò da un settore circolare di 360 n gradi
• ${\displaystyle r_{0}}$ il raggio sulla carta dell'arco di cerchio che rappresenta il Polo Nord:

${\displaystyle n={\frac {\sin \alpha _{1}-\sin \alpha _{2}}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}}$

${\displaystyle r_{0}=Rs({\frac {\sin \alpha _{1}}{n}}-\alpha _{1})=Rs({\frac {\sin \alpha _{2}}{n}}-\alpha _{2})=Rs{\frac {\alpha _{1}\sin \alpha _{2}-\alpha _{2}\sin \alpha _{1}}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}}$

${\displaystyle r=r_{0}+Rs\alpha }$

Il raggio dell'arco di cerchio sulla carta che rappresenta il Polo Sud è quindi:

${\displaystyle r=r_{0}+\pi Rs}$

Casi limite

Quando entrambi i paralleli "standard" coincidono con il Polo Nord abbiamo la proiezione azimutale equidistante. Al limite abbiamo n = 1 e ${\displaystyle r_{0}=0}$.

Quando i paralleli "standard" abbiano lo stesso grado di latitudine, ma uno Nord e l'altro Sud, abbiamo la proiezione cilindrica equidistante al limite perciò n va a 0 e ${\displaystyle r_{0}}$ a infinito, e abbiamo y come coordinata parallela all'asse del cilindro:

${\displaystyle y=Rs\beta }$