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In algebra lineare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata su un campo è un polinomio definito a partire dalla matrice che ne descrive molte proprietà essenziali.
Il polinomio caratteristico è un oggetto che dipende solo dalla classe di similitudine di una matrice, e pertanto fornisce molte informazioni sulla natura intrinseca delle trasformazioni lineari, caratterizzate attraverso la traccia e il determinante. In particolare, le radici del polinomio sono gli autovalori della trasformazione lineare associata alla matrice. I coefficienti del polinomio sono pertanto detti invarianti della matrice e dell'applicazione ad essa associata.
Il polinomio è anche utilizzato per determinare la forma canonica di luoghi geometrici esprimibili mediante matrici, come coniche e quadriche.
Sia una matrice quadrata a valori in un campo . Il polinomio caratteristico di nella variabile è il polinomio definito nel modo seguente:[1]
cioè è il determinante della matrice , ottenuta sommando e . Qui denota la matrice identità, avente la stessa dimensione di , e quindi è la matrice diagonale avente il valore su ciascuna delle n caselle della diagonale principale.
In particolare, è autovalore di se e solo se è radice del suo polinomio caratteristico.[2]
Sia una matrice quadrata di ordine . Il polinomio caratteristico di ha grado . Alcuni dei suoi coefficienti sono (a meno di segno) quantità notevoli per la matrice, come la traccia ed il determinante:
Il coefficiente di del polinomio è la somma moltiplicata per dei determinanti dei minori "centrati" sulla diagonale.
Ad esempio, se è una matrice 2 per 2 si ha:
Le radici in del polinomio caratteristico sono gli autovalori di .[2]
Questo si dimostra formalmente ponendo autovettore di . Si ha allora , ed in particolare:
Si ha quindi che il nucleo dell'applicazione è non nullo se è autovalore, e tale condizione è soddisfatta se e solo se:
Se è una matrice triangolare (superiore o inferiore) avente i valori sulla diagonale principale, allora:
Quindi il polinomio caratteristico di una matrice triangolare ha radici nel campo, date dai valori nella diagonale principale. In particolare, questo fatto è vero per le matrici diagonali.
Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.[3] Infatti, se:
per qualche matrice invertibile , si ottiene:
In tale catena di uguaglianze si fa uso del fatto che la matrice della forma commuta con qualsiasi altra e del teorema di Binet.
Poiché due matrici che rappresentano un endomorfismo di uno spazio vettoriale a dimensione finita sono simili, il polinomio caratteristico è una grandezza intrinseca di che riassume molte delle caratteristiche dell'endomorfismo considerato, come traccia, determinante ed autovalori. Come conseguenza di questo fatto si ha che è diagonalizzabile se esiste una base di rispetto alla quale la matrice che rappresenta è diagonale, e gli elementi della diagonale sono gli autovalori.[4] In particolare, la base che diagonalizza è composta da suoi autovettori.
Il teorema di diagonalizzabilità fornisce, inoltre, un criterio necessario e sufficiente che permette di stabilire se un'applicazione lineare è diagonalizzabile. Una matrice quadrata con n righe è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:
La matrice trasposta ha lo stesso polinomio caratteristico di . Infatti
Qui si fa uso del fatto che il determinante è invariante per trasposizione.
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