Numero plastico

Il numero plastico (anche noto come costante plastica)^[1][2][3] è l'unica soluzione reale ${\displaystyle \rho }$ dell'equazione

${\displaystyle x^{3}=x+1,}$

Numero plastico
Simbolo	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}}$
Valore	1,3247179572447460259609088... (sequenza A060006 dell'OEIS)
Frazione continua	[1, 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80, ...] (sequenza A072117 dell'OEIS)
Insieme	numeri algebrici irrazionali
Costanti correlate	sezione aurea

ed ha il valore

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {23}{3}}}}},}$

il cui sviluppo decimale inizia con 1,324717957...

Spirale di triangoli equilateri i cui lati hanno lunghezze che seguono la successione di Padovan, i lati hanno tra di loro rapporto di 1/${\displaystyle \rho }$

Il numero plastico è il limite del rapporto dei termini successivi della successione di Padovan e della successione di Perrin.

Il numero plastico è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan.

Proprietà

Successioni

Le potenze del numero plastico A(n) = ρⁿ soddisfano la relazione di ricorrenza lineare del terzo ordine A(n) = A(n − 2) + A(n − 3) per n > 2. Quindi è il rapporto limite di termini successivi di qualsiasi successione di interi (diversi da zero) che soddisfa questa ricorrenza come i numeri di Cordonnier (più conosciuti come termini della successione di Padovan), i numeri di Perrin e i numeri di Van der Laan, ed è correlato a queste successioni come il numero aureo con la successione di Fibonacci e con i numeri di Lucas, così come il numero d'argento è correlato alla successione di Pell.^[4]

Il numero plastico può essere scritto come radicale continuo nel seguente modo:^[5]

${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}.}$

I quadrati con i lati in rapporto di ${\displaystyle \rho }$ possono essere disposti a spirale

Teoria dei numeri

Siccome il numero plastico ha come polinomio minimo ${\displaystyle x^{3}-x-1,}$ è anche una soluzione dell'equazione polinomiale ${\displaystyle p(x)=0}$ per ogni polinomio ${\displaystyle p}$ che è multiplo di ${\displaystyle x^{3}-x-1,}$ ma non per qualunque altro polinomio a coefficienti interi. Poiché il discriminante del suo polinomio minimo è uguale a ${\displaystyle -23}$ il suo campo di spezzamento è ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}},\rho ).}$ Questo campo è anche il campo di classe di Hilbert di ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}}).}$

Esso è il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan. I suoi coniugati algebrici sono

${\displaystyle \left(-{\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\mp {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right){\sqrt[{3}]{{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {\tfrac {23}{3}}}}}\approx -0,662359\pm 0,56228i,}$

di modulo circa ${\displaystyle 0,868837.}$^[6] Questo valore corrisponde anche a ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\rho }}}}$ visto che il prodotto delle tre radici del polinomio minimo è 1.

Trigonometria

Il numero plastico può essere scritto in termini di coseno iperbolico e del suo inverso:

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{c}}\cosh \left({\tfrac {1}{3}}\cosh ^{-1}(3c)\right),\qquad {\text{con}}\quad c=\cos \left({\tfrac {2\pi }{12}}\right)=\sin \left({\tfrac {2\pi }{6}}\right)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$

Geometria

Le tre partizioni in rettangoli simili di un quadrato

Esistono esattamente tre modi per suddividere un quadrato in tre rettangoli simili:^[7][8]

1. La soluzione banale che consiste in tre rettangoli congruenti con rapporto d'aspetto 3:1.
2. La soluzione in cui due dei tre rettangoli sono congruenti e un terzo rettangolo con i lati lunghi il doppio della coppia congruente e in cui i rettangoli hanno rapporto d'aspetto 3:2.
3. La soluzione in cui i tre rettangoli sono reciprocamente non congruenti (tutti di dimensioni diverse) e in cui hanno rapporto d'aspetto ${\displaystyle \rho ^{2}.}$ I rapporti delle dimensioni lineari dei tre rettangoli in questo caso sono: ${\displaystyle \rho }$ (grande:medio); ${\displaystyle \rho ^{2}}$ (medio:piccolo); e ${\displaystyle \rho ^{3}}$ (grande:piccolo). Il lato lungo, posto internamente, del rettangolo più grande (la linea di faglia del quadrato) divide due dei quattro bordi del quadrato in due segmenti che si trovano ciascuno in rapporto ${\displaystyle \rho }$ con l'altro. Il lato corto del rettangolo medio coincidente con il lato lungo del piccolo rettangolo divide il lato del quadrato in due segmenti che si trovano nel rapporto ${\displaystyle \rho ^{4}.}$

Il fatto che un rettangolo di proporzioni ${\displaystyle \rho ^{2}}$ possa essere utilizzato per dissezioni di un quadrato in rettangoli simili equivale a una proprietà algebrica del numero ${\displaystyle \rho ^{2}}$ relativo al teorema di Routh – Hurwitz per la quale tutti i suoi coniugati hanno una parte reale positiva.^[9][10]

Storia e nome

L'architetto olandese e monaco benedettino Dom Hans van der Laan ha dato il nome numero di plastica (in olandese het plastische getal) a questo numero nel 1928. Nel 1924, l'ingegnere francese Gérard Cordonnier aveva già scoperto il numero e lo aveva chiamato "il numero radiante" (ancora in francese si usa l'espressione le nombre radiante). A differenza dei nomi di numero aureo e numero d'argento, la parola plastico non è stata intesa da van der Laan per riferirsi a una sostanza specifica, ma piuttosto nel suo senso aggettivale di qualcosa a cui si può dare una forma tridimensionale.^[11][4] Questo, secondo Richard Padovan, è perché i rapporti caratteristici del numero, 3/4 e 1/7, si riferiscono ai limiti della percezione umana nel mettere in relazione una dimensione fisica con un'altra. Van der Laan progettò nel 1967 la chiesa abbazia di Mamelis con queste proporzioni numeriche.^[11]

Curiosità

Il matematico Donald Knuth, raccogliendo una proposta di chiamare questo numero phi-alto ha creato un carattere simile al greco phi ("φ") ma con il cerchio alto sul gambo così da somigliare alla lettera pari ("Ⴔ") dell'alfabeto Asomtavruli.^[12]

Note

1. Giorgio Balzarotti e Paolo P. Lava, 103 curiosità matematiche, Hoepli, 2010, p. 58, ISBN 978-88-203-4556-3.
2. Michel Remery, Mystery and Matter: On the Relationship Between Liturgy and Architecture in the Thought of Dom Hans Van Der Laan OSB, Brill, 2010, p. 573, ISBN 978-90-04-18296-7.
3. Alberto Ferlenga e Paola Verde, Dom Hans van der Laan: le opere, gli scritti, a cura di Hans van der Laan, collana Documenti di architettura, vol. 128, Electa, 2000, p. 12.
4. (EN) A. G. Shannon, P. G. Anderson e A. F. Horadam, Properties of Cordonnier, Perrin and Van der Laan numbers, in International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, vol. 37, n. 7, 15 ottobre 2006, pp. 825–831, DOI:10.1080/00207390600712554. URL consultato il 1º settembre 2024.
5. (EN) Eric W. Weisstein, Numero plastico, in MathWorld, Wolfram Research.
6. (sequence A191909 in the OEIS)
7. Ian Stewart, A Guide to Computer Dating (Feedback), Scientific American, Vol. 275, No. 5, November 1996, p. 118
8. Vera W. de Spinadel e Redondo Buitrago Antonia, Towards van der Laan's plastic number in the plane (PDF), in Journal for Geometry and Graphics, vol. 13, n. 2, 2009, pp. 163–175..
9. C. Freiling e D. Rinne, Tiling a square with similar rectangles, in Mathematical Research Letters, vol. 1, n. 5, 1994, pp. 547–558, DOI:10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3.
10. M. Laczkovich e G. Szekeres, Tilings of the square with similar rectangles, in Discrete and Computational Geometry, vol. 13, 3–4, 1995, pp. 569–572, DOI:10.1007/BF02574063.
11. Richard Padovan, Dom Hans van der Laan and The plastic number, in Nexus IV: Architecture and Mathematics, Firenze, Fucecchio / Kim Williams Books, pp. 181–193.
12. Six challenging dissection tasks (PDF), in Quantum, vol. 4, n. 5, maggio–June 1994, pp. 26–27.

Bibliografia

• Midhat J. Gazalé, Gnomon, 1999 Princeton University Press.

Voci correlate

• Equazione di terzo grado

Altri progetti

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su numero plastico

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Numero plastico, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Tales of a Neglected Number di Ian Stewart

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