Numero di Froude

In meccanica dei fluidi il numero di Froude (abbreviato come ${\displaystyle \mathrm {Fr} }$ o ${\displaystyle \mathrm {Fn} }$) è un gruppo adimensionale che mette in relazione la forza d'inerzia e il peso; deve il suo nome a quello dell'ingegnere idrodinamico ed architetto navale inglese William Froude.

Definizione

Il numero di Froude è definito come la radice quadrata del rapporto fra forza d'inerzia e peso, che conduce a:^[1]

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {V_{0}}{\sqrt {g\,L_{0}}}}}$

dove:

• ${\displaystyle L}$₀ è una lunghezza di riferimento [m];
• ${\displaystyle V_{0}}$ è il modulo di una velocità di riferimento [m/s];
• ${\displaystyle g}$ è il modulo dell'accelerazione di gravità [m/s²].

Il numero di Froude può essere anche espresso in funzione del numero di Richardson (è infatti il reciproco della sua radice quadrata).

L'inverso del numero di Froude è pari al numero di Reech.^[2]

Origine

Per ricavare l'espressione del numero di Froude, si esprime il rapporto tra forza d'inerzia e forza peso in termini generali.

La forza d'inerzia (${\displaystyle {\vec {F}}}$) può essere scritta, in base al secondo principio della dinamica classica, come prodotto tra massa (${\displaystyle m}$) ed accelerazione (${\displaystyle {\vec {a}}}$):

${\displaystyle {\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}}$

In una situazione generica, considerando l'equazione in termini di modulo dei vettori, si considera una massa di riferimento ${\displaystyle m_{0}}$, mentre l'accelerazione ${\displaystyle a}$ può essere espressa come il rapporto tra una lunghezza di riferimento ${\displaystyle L_{0}}$ e il quadrato di un tempo di riferimento ${\displaystyle t_{0}}$, cioè:

${\displaystyle F={\frac {m_{0}\,L_{0}}{t_{0}^{2}}}}$

moltiplicando e dividendo per ${\displaystyle L_{0}}$, si ottiene:

${\displaystyle F={\frac {m_{0}\,L_{0}^{2}}{t_{0}^{2}\,L_{0}}}}$

Si pone ${\displaystyle {\frac {L_{0}}{t_{0}}}}$ pari ad una velocità di riferimento ${\displaystyle V_{0}}$, per cui:

${\displaystyle F={\frac {m_{0}\,V_{0}^{2}}{L_{0}}}}$

La forza peso ${\displaystyle P}$ risulta essere il prodotto tra massa di un corpo ed accelerazione di gravità agente su di esso, ovvero:

${\displaystyle P=m\cdot g}$

Ricorrendo a delle grandezze di riferimento, possiamo scrivere:

${\displaystyle P=m_{0}\cdot g}$

Dividendo membro a membro le espressioni delle due forze in termini di grandezze di riferimento, abbiamo:

${\displaystyle {\frac {F}{P}}={\frac {\left({\frac {m_{0}\,V_{0}^{2}}{L_{0}}}\right)}{m_{0}\,g}}={\frac {V_{0}^{2}}{g\,L_{0}}}}$

a questo punto, mettendo il rapporto delle forze sotto radice, si ottiene l'espressione del numero di Froude:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {F}{P}}}={\sqrt {\frac {V_{0}^{2}}{g\,L_{0}}}}={\frac {V_{0}}{\sqrt {g\,L_{0}}}}=\mathrm {Fr} }$

Adimensionalità

Per verificare l'adimensionalità del numero di Froude si sfrutta l'analisi dimensionale, cioè si esprimono i parametri in termini di grandezze fondamentali nel sistema internazionale di unità di misura.

Considerando l'equazione dimensionale^[3]:

${\displaystyle [\mathrm {Fr} ]={[V] \over [{\sqrt {g\cdot h}}]}={[m\cdot s^{-1}] \over [m\cdot s^{-2}\cdot m]^{1 \over 2}}={{[m]\cdot [s]^{-1}} \over {[m]\cdot [s]^{-1}}}=1}$

Siccome il risultato dell'eguaglianza è un valore numerico privo di unità di misura, ne discende che il numero di Froude è un numero adimensionale.

Applicazioni

Correnti fluviali a pelo libero

Lo stesso argomento in dettaglio: Correnti a pelo libero.

Per lo studio delle correnti a pelo libero, la lunghezza caratteristica ${\displaystyle L_{0}}$ del numero di Froude assume il valore dell'altezza del tirante idrico ${\displaystyle h_{m}}$ della sezione trasversale fluviale rettangolare di area uguale a quella della sezione trasversale considerata, quindi:^[4]

${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g\cdot h_{m}}}}={\frac {U}{\sqrt {g\cdot A/B}}}}$

dove:

• ${\displaystyle U}$ è la velocità media della corrente nella sezione trasversale del fiume, in m/s;
• ${\displaystyle A}$ è l'area bagnata nella sezione, in m²;
• ${\displaystyle B}$ è la larghezza del pelo libero in superficie nella sezione, in m;
• ${\displaystyle h_{m}}$ è l'altezza del tirante idrico della sezione rettangolare di area uguale a quella della sezione considerata, in m.

Dal numero di Froude si può determinare:

• se la corrente in una certa sezione trasversale sarà subcritica (lenta), critica o supercritica (veloce);
• se quando c'è il passaggio della corrente attraverso l'altezza critica si verifica un risalto idraulico o un salto diretto^{[non chiaro]};
• il tipo di risalto idraulico che si verifica.

Corrente subcritica, critica e supercritica

La seguente trattazione parte dall'ipotesi che il vettore velocità della perturbazione abbia una componente verticale costante, perciò non rientrano tra queste le comuni onde marine e le onde generate dalle navi con il loro moto (le onde a cui Froude era maggiormente interessato).

Il numero di Froude ha un significato cinematico correlato alla tipologia di regime di moto di una corrente a pelo libero, che può essere di tipo subcritico, critico o supercritico. Inoltre, si può dimostrare che per un liquido incomprimibile confinato inferiormente in un canale, la quota del pelo libero dipende dal numero di Froude.

A tal fine, si consideri una perturbazione della superficie libera di ampiezza infinitesima ${\displaystyle dh}$ che risale la corrente con velocità di modulo ${\displaystyle v}$, assunto positivo quando il vettore velocità della perturbazione ${\displaystyle {\vec {v}}}$ è di verso opposto al vettore velocità della corrente ${\displaystyle {\vec {U}}}$ e negativo quando il vettore ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ha lo stesso verso del vettore ${\displaystyle {\vec {U}}}$. A causa dell'innalzamento della superficie libera in prossimità della perturbazione si ha un rallentamento infinitesimo della corrente ${\displaystyle dU}$.

Si applicano i bilanci di massa e di energia al volume di controllo in esame^{[non chiaro]}, assunto il moto unidirezionale rispetto all'asse orizzontale e quindi considerando solo i moduli dei vettori velocità, ${\displaystyle U}$ per ${\displaystyle {\vec {U}}}$ e ${\displaystyle v}$ per ${\displaystyle {\vec {v}}}$.

• dal bilancio di massa si ricava:

  ${\displaystyle (U+v)\cdot h_{m}=(U+v-dU)\cdot (h_{m}+dh)}$

• dal bilancio di energia si ricava:

  ${\displaystyle h_{m}+z+{\frac {1}{2\,g}}(U+v)^{2}=h_{m}+dh+z_{f}+{\frac {1}{2\,g}}(U+v-dU)^{2}}$

  dove ${\displaystyle z_{f}}$ indica la quota del fondo del canale.

Dal bilancio di massa, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ricava la seguente l'espressione:

${\displaystyle (U+v)\cdot h_{m}=(U+v)\cdot h_{m}+(U+v)\cdot dh-dU\cdot h_{m}}$

la quale semplificata equivale a:

${\displaystyle 0=(U+v)\cdot dh-dU\cdot h_{m}}$.

Riarrangiando i termini si ottiene:

${\displaystyle (U+v)\cdot dh=dU\cdot h_{m}}$.

Sfruttando l'equazione del bilancio di energia e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, si ricava la seguente espressione:

${\displaystyle {\frac {1}{2\,g}}(U+v)^{2}=dh+{\frac {1}{2\,g}}((U+v)^{2}-2(U+v)\cdot dU)}$

che semplificata equivale a:

${\displaystyle dh={\frac {1}{g}}(U+v)\cdot dU}$.

Inserendo tale espressione di ${\displaystyle dh}$ nell'equazione del bilancio di massa, si ottiene:

${\displaystyle {\frac {1}{g}}(U+v)^{2}\cdot dU=dU\cdot h}$

Semplificato il termine ${\displaystyle dU}$ e moltiplicando entrambi i membri dell'equazioni per ${\displaystyle g}$, si ottiene:

${\displaystyle (U+v)^{2}=g\cdot h_{m}}$.

Applicando la radice quadra ad entrambi i membri dell'equazione si ottengono le seguenti due soluzioni distinte ${\displaystyle v_{1}}$ e ${\displaystyle v_{2}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}U+v_{1}=+{\sqrt {g\cdot h_{m}}}\\U+v_{2}=-{\sqrt {g\cdot h_{m}}}\end{cases}}}$

Esplicitando ${\displaystyle v}$ nelle due equazioni si ha:

${\displaystyle {\begin{cases}v_{1}=-U+{\sqrt {g\cdot h_{m}}}\\v_{2}=-U-{\sqrt {g\cdot h_{m}}}\end{cases}}}$

La velocità di un lato del fronte d'onda della perturbazione (${\displaystyle v_{2}}$) è sempre di segno negativo, essendo dato dalla somma cambiata di segno di due quantità sempre positive, e quindi discende sempre la corrente; la velocità dell'altro lato della perturbazione (${\displaystyle v_{1}}$), invece, può essere di segno negativo o positivo a seconda che ${\displaystyle U}$ sia rispettivamente maggiore o minore di ${\displaystyle {\sqrt {g\cdot h_{m}}}}$.

Perciò, qualora il fronte d'onda di monte della perturbazione non riesca a risalire la corrente, cioè nel caso ${\displaystyle U}$ sia maggiore di ${\displaystyle {\sqrt {g\cdot h_{m}}}}$ e quindi maggiore di ${\displaystyle v_{1}}$, il numero di Froude è maggiore di 1, e si è in condizioni supercritiche^[5]; nel caso in cui il fronte d'onda di monte della perturbazione riesca a risalire la corrente, cioè nel caso ${\displaystyle U}$ sia inferiore di ${\displaystyle {\sqrt {g\cdot h_{m}}}}$ e quindi inferiore di ${\displaystyle v_{1}}$, il numero di Froude è minore di 1, e si dice che si è in condizioni subcritiche^[6].

Ricapitolando si ha che:^[4]

• se ${\displaystyle \mathrm {Fr} <1}$ la corrente è subcritica (lenta);
• se ${\displaystyle \mathrm {Fr} =1}$ la corrente è nel suo punto critico;
• se ${\displaystyle \mathrm {Fr} >1}$ la corrente è supercritica (veloce).

A parità di condizioni al contorno, il tirante idrico ${\displaystyle h_{m}}$ in regime di moto subcritico risulta essere maggiore di quello in regime di moto supercritico.

Risalto idraulico

Lo stesso argomento in dettaglio: Risalto idraulico.

Risalto idraulico lungo un fiume

Per valutare il raccordo tra corrente lenta e corrente veloce si ha che:

• se ${\displaystyle \mathrm {Fr} ^{2}<2}$ si è in presenza di un salto diretto;
• se ${\displaystyle \mathrm {Fr} ^{2}>2}$ si è in presenza di un risalto idraulico.^{[senza fonte]}

Per conoscere il tipo di risalto idraulico che si verifica si fa riferimento al valore del numero di Froude ${\displaystyle \mathrm {Fr} _{1}}$ nella sezione di monte al passaggio dalla corrente veloce alla corrente lenta; in particolare si hanno i seguenti intervalli di valori:^[7]

• se ${\displaystyle \mathrm {Fr} _{1}\in [1,0\$ ;\ 1,7]} si ha un risalto ondulato, con onde stazionarie e l'altezza coniugata nel risalto di valle è di poco maggiore a quella di monte;
• se ${\displaystyle \mathrm {Fr} _{1}\in [1,7\$ ;\ 2,5]} si ha un risalto debole, con piccole ondulazioni della superficie e l'altezza coniugata nel risalto di valle è due o tre volte quella di monte;
• se ${\displaystyle \mathrm {Fr} _{1}\in [2,5\$ ;\ 4,5]} si ha un risalto oscillante, con pulsazioni intense che possono danneggiare i canali in terra;
• se ${\displaystyle \mathrm {Fr} _{1}\in [4,5\$ ;\ 9,0]} si ha un risalto stazionario, con onde stabili e grandi dissipazioni di energia;
• se ${\displaystyle \mathrm {Fr} _{1}>9,0}$ si ha un risalto impetuoso, con onde violente e intermittenti e l'altezza coniugata nel risalto di valle è maggiore di dodici volte quella di monte.

Idrodinamica navale

Tipo di moto ondoso e velocità per valori differenti del numero di Froude.

Nelle applicazioni idrodinamiche marine, il numero di Froude viene solitamente indicato con la notazione ${\displaystyle \mathrm {Fn} }$ ed è definito come:^[8]

${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {g\cdot L}}}}$

dove:

• ${\displaystyle u}$ è la velocità di flusso relativa tra mare e nave;
• ${\displaystyle g}$ è l'accelerazione di gravità;
• ${\displaystyle L}$ è la lunghezza della nave al livello della linea di galleggiamento, o ${\displaystyle L_{w1}}$ in alcune notazioni.

È un parametro importante rispetto alla resistenza al moto della nave, specialmente in termini di resistenza d'onda.

Nel caso di imbarcazioni plananti, dove la lunghezza della linea di galleggiamento è troppo dipendente dalla velocità per essere significativa, il numero di Froude è meglio definito come "numero di Froude volumetrico" e la lunghezza di riferimento è considerata come la radice cubica dello spostamento volumetrico dello scafo:

${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g\cdot {\sqrt[{3}]{V}}}}}}$

Note

1. Weisstein (1).
2. Weisstein (2).
3. Le parentesi quadre attorno ad una grandezza indicano che si stanno considerando le sue unità di misura.
4. Çengel et al. (2007), p. 436.
5. essendo ${\displaystyle U}$ maggiore della velocità critica ${\displaystyle {\sqrt {g\cdot h_{m}}}}$
6. essendo ${\displaystyle U}$ minore della velocità critica ${\displaystyle {\sqrt {g\cdot h_{m}}}}$
7. Çengel et al. (2007), p. 472.
8. Newman (1977), p. 28.

Bibliografia

• Yunus A. Çengel e John M. Cimbala, Meccanica dei fluidi, a cura di Giuseppe Cozzo e Cinzia Santoro, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-88-386-6384-0, OCLC 799749775.
• (EN) Eric W. Weisstein, Froude Number -- from Eric Weisstein's World of Physics, su scienceworld.wolfram.com.
• (EN) Eric W. Weisstein, Reech Number -- from Eric Weisstein's World of Physics, su scienceworld.wolfram.com.
• Articolo di Le Scienze "Come lappa il gatto: un miracolo fluidodinamico", su lescienze.espresso.repubblica.it.
• John Nicholas Newman, Marine hydrodynamics, Cambridge, Massachusetts, MIT Press, 1977, ISBN 978-0-262-14026-3.

Voci correlate

• Numero di Reynolds
• Numero di Reech
• Numero di Richardson
• Numero di Grashof
• Numero di Rayleigh

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