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classe di complessità Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
In teoria della complessità, i problemi NP-difficili o NP-ardui (in inglese NP-hard, da nondetermistic polynomial-time hard problem, "problema difficile non deterministico in tempo polinomiale") sono una classe di problemi che può essere definita informalmente come la classe dei problemi almeno difficili come i più difficili problemi delle classi di complessità P e NP. Più formalmente, un problema è NP-difficile se e solo se ogni problema NP è polinomialmente riducibile ad , ovvero tale che . In altre parole, deve poter essere risolto in tempo polinomiale da una macchina di Turing dotata di un oracolo per .[1] Da questa definizione si ricava che i problemi NP-difficili sono non meno difficili dei problemi NP-completi, che a loro volta sono per definizione i più difficili delle classi P/NP.
La categoria dei problemi NP-difficili, a differenza delle classi P, NP e degli NP-completi, non è limitata per definizione ai soli problemi di decisione; vi appartengono infatti anche problemi di ottimizzazione e di altri generi.
La classe dei problemi NP-difficili ha una grande rilevanza sia teorica che pratica. In pratica, dimostrare che un problema di calcolo è equivalente a un problema notoriamente NP-difficile significa dimostrare che è praticamente impossibile[2] trovare un modo efficiente di risolverlo, cosa che ha molte implicazioni in informatica. Da un punto di vista teorico, lo studio dei problemi NP-difficili è un elemento essenziale della ricerca su alcuni dei principali problemi aperti della complessità.
Un esempio di problema NP-difficile è il problema di decisione noto come problema delle somme parziali o "SUBSET-SUM", e che corrisponde alla domanda: dato un insieme di interi, c'è almeno un suo sottoinsieme che ha come somma algebrica zero? Un celebre problema di ottimizzazione NP-difficile, che ha anche una fortissima valenza pratica, è quello di trovare il cammino Hamiltoniano che unisce due punti su un grafo.
Ci sono problemi decisionali che sono NP-difficili ma non NP-completi, in questa classe rientrano i problemi che sono in EXPTIME, cioè tutti quei problemi decisionali risolvibili da una macchina deterministica di Turing nel tempo O(), dove f(n) è una funzione polinomiale. Un problema è NP-hard se tutti i problemi in NP sono riducibili polinomialmente ad esso. Un esempio di problema NP-hard è il problema delle formule booleane soddisfacibili SAT). Si può dimostrare che i problemi NP-completi sono polinomialmente riducibili a questo problema (una dimostrazione è nota per esempio per 3sat). Ci sono tuttavia anche esempi di problemi che sono NP-difficili, decidibili, ma non NP-completi; un esempio è il problema del riconoscimento del linguaggio TQBF (True Quantified Boolean Formulas).
Una definizione alternativa di NP-hard che è spesso usata restringe NP-Hard a problemi decisionali e quindi usa la riduzione polinomiale al posto della riduzione di Turing. Così, formalmente un linguaggio L è NP-hard se .
La nomenclatura dei problemi NP è confusa: i problemi NP-ardui non sono in NP, nonostante vengano etichettati con tale nome. Nonostante questa contraddizione verbale, tale nome è ormai di uso comune. D'altro canto, il sistema di nomenclatura NP- ha un senso più profondo, che fa interesse alla sua classe di complessità generica, denominata anch'essa NP.
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