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struttura algebrica Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
Un magma (o gruppoide) è un insieme in cui è definita una singola operazione binaria che a ogni coppia di elementi e di associa l'elemento L'unico assioma soddisfatto dall'operazione in un magma è quello di chiusura:
che potrebbe tra l'altro essere tralasciato nella definizione, una volta stabilito che l'operazione è una funzione del tipo
I magmi costituiscono una struttura algebrica molto semplice e generale che gode di poche proprietà; essa è utile per accomunare in un'unica famiglia le strutture con una singola operazione binaria.
Il termine magma è stato introdotto in matematica da Bourbaki nel volume sulle strutture algebriche insieme alla nozione di legge di composizione interna. Il termine gruppoide è anche utilizzato per definire questa struttura. Si noti tuttavia che il termine gruppoide è più comunemente usato con un secondo significato, per denotare un altro tipo di struttura algebrica e una categoria.
Un magma viene chiamato
Un magma libero sopra un insieme svolge il ruolo del "magma più grande possibile" generato da infatti ai generatori non si impone alcuna relazione o assioma; (si veda oggetto libero). Esso si può descrivere in termini familiari nell'informatica, come magma degli alberi binari saturi con foglie etichettate da elementi di La composizione di tali oggetti è la saldatura di due alberi ad una nuova radice. Esso quindi ha un ruolo fondazionale per la sintassi.
Ad ogni elemento a di un magma (X,*) si associano due endofunzioni entro X, la traslazione a sinistra di a, funzione che a ogni x di X associa a * x, e la traslazione a destra di a, funzione che a ogni x di X associa x * a.
Queste endofunzioni riguardano la nozione di traslazioni in algebra.
Nel caso il magma sia un gruppo le traslazioni a sinistra e le traslazioni a destra sono permutazioni del gruppo stesso. Particolarmente interessanti sono le traslazioni concernenti vari gruppi di permutazioni.
Le due traslazioni associate ad un elemento a coincidono per ogni a nel caso di un magma abeliano e per ogni a appartenente al Centro di un gruppo nel caso di un generico gruppo.
La nozione di traslazione in geometria si riconduce alla nozione algebrica sopra definita nel caso di uno spazio vettoriale considerato come sostegno di un gruppo abeliano relativo all'operazione binaria di somma.
La nozione algebrica di traslazione applicata al gruppo (abeliano) delle rotazioni piane porta alle rotazioni della circonferenza che raffigura tale gruppo.
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