Gruppoide (teoria delle categorie)

In matematica, un gruppoide è una struttura algebrica usata per generalizzare gruppi e azioni di gruppo.

Il concetto di gruppoide è stato introdotto da Heinrich Brandt nel 1927^[1]; spesso quindi tale entità viene chiamata gruppoide di Brandt.

Successivamente, inspirandosi alla teoria classica dei gruppi di Lie, in geometria differenziale è stata sviluppata una nozione di gruppoide dotato di una struttura differenziale compatibile, detto gruppoide di Lie.^[2][3]

Definizione

In senso algebrico, un gruppoide è definito come un insieme ${\displaystyle G}$ munito di una funzione parziale ${\displaystyle \oplus }$ e di una funzione totale ⁻¹ che soddisfano le seguenti condizioni per ogni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ in ${\displaystyle G}$:

• ${\displaystyle \oplus }$ è associativa, cioè se esistono sia ${\displaystyle f\oplus g}$ che ${\displaystyle g\oplus h}$, allora ${\displaystyle (f\oplus g)\oplus h}$ e ${\displaystyle f\oplus (g\oplus h)}$ sono definite e coincidono;
• ${\displaystyle f^{-1}\oplus f}$ e ${\displaystyle f\oplus f^{-1}}$ sono sempre definite;
• Se ${\displaystyle f\oplus g}$ è definita, allora ${\displaystyle f\oplus g\oplus g^{-1}=f}$ e ${\displaystyle f^{-1}\oplus f\oplus g=g}$ (non è necessario specificare che sono definite, in quanto ciò segue banalmente dalle prime due condizioni).

In senso categoriale, un gruppoide è definito come una categoria piccola in cui tutti i morfismi sono invertibili. Denotando ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle M}$, rispettivamente, gli insiemi dei morfismi e degli oggetti, un gruppoide possiede le seguenti mappe di struttura:

• Una mappa sorgente ${\displaystyle s\colon G\rightarrow M}$, che associa ad ogni morfismo ${\displaystyle g\colon x\to y}$ il suo oggetto sorgente ${\displaystyle x.}$
• Una mappa bersaglio ${\displaystyle t\colon G\rightarrow M}$, che associa ad ogni morfismo ${\displaystyle g\colon x\to y}$ il suo oggetto bersaglio ${\displaystyle y.}$
• Una moltiplicazione parziale ${\displaystyle m\colon G\times _{M}G\rightarrow G}$, che associa a due morfismi compatibili ${\displaystyle g_{2}\colon y\to z}$ e ${\displaystyle g_{1}\colon x\to y}$ la loro composizione ${\displaystyle g_{2}\cdot g_{1}\colon x\to z.}$
• Una mappa unità ${\displaystyle u\colon M\rightarrow G}$, che associa ad ogni oggetto ${\displaystyle x}$ il morfismo identità ${\displaystyle \mathrm {id} _{x}.}$
• Una mappa inversione ${\displaystyle i\colon G\rightarrow G}$, che associa ad ogni morfismo ${\displaystyle g\colon x\to y}$ il suo inverso ${\displaystyle g^{-1}\colon y\to x.}$

Un gruppoide viene spesso schematicamente rappresentato da ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ (le due frecce indicano le mappe sorgente e bersaglio).

Esempi e prime proprietà

Dato un gruppoide ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$, si definisce orbita attraverso ${\displaystyle x\in M}$ l'insieme ${\displaystyle {\mathcal {O}}(x):=t(s^{-1}(x))\subseteq M}$ degli elementi di ${\displaystyle M}$ che si collegano ad ${\displaystyle x}$ tramite un morfismo di ${\displaystyle G}$. Le orbite di un gruppoide formano una partizione di ${\displaystyle M}$; un gruppoide è detto transitivo se ammette una sola orbita, cioè se ogni due punti di ${\displaystyle M}$ possono essere da morfismi.

L'insieme ${\displaystyle G_{x}:=s^{-1}(x)\cap t^{-1}(x)\subseteq G}$ dei morfismi che hanno sorgente e bersaglio uguale a ${\displaystyle x}$ è detto gruppo di isotropia in ${\displaystyle x\in M}$, e possiede una naturale struttura di gruppo. Se due oggetti ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono nella stessa orbita, i gruppi di isotropia ${\displaystyle G_{x}}$ e ${\displaystyle G_{y}}$ sono isomorfi. In particolare, tutti i gruppi di isotropia di un gruppoide transitivo sono isomorfi fra loro.

I concetti di morfismo di gruppoidi e di sottogruppoide sono definiti come i loro analoghi in teoria dei gruppi.

Ecco alcuni semplici esempi di gruppoidi:

• Ogni gruppo ${\displaystyle G}$ è un gruppoide ${\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}}$ con un solo oggetto.
• Dato un insieme ${\displaystyle M}$, il gruppoide unità ${\displaystyle M\rightrightarrows M}$ è il gruppoide con ${\displaystyle s=t=\mathrm {id} _{M}}$ e moltiplicazione triviale.
• Dato un insieme ${\displaystyle M}$, il gruppoide coppia ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ è il gruppoide con sorgente ${\displaystyle s(x,y)=y}$, bersaglio ${\displaystyle t(x,y)=x}$ e moltiplicazione ${\displaystyle (x,y)\cdot (y,z)=(x,z).}$
• Data un'azione (per esempio sinistra) di un gruppo ${\displaystyle G}$ su un insieme ${\displaystyle M,}$ il gruppoide di azione ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ è definito sorgente ${\displaystyle s(g,x)=x}$, bersaglio ${\displaystyle t(g,x)=g\cdot x}$ e moltiplicazione ${\displaystyle (h,g\cdot x)\cdot (g,x)=(hg,x).}$

Gruppoidi con strutture geometriche

Un gruppoide topologico è un gruppoide ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ in cui ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle M}$ sono spazi topologici, le mappe di struttura sono continue, e le mappe sorgente e bersaglio sono aperte. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo topologico.

Analogamente, un gruppoide di Lie è un gruppoide topologico ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ in cui ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle M}$ sono varietà differenziabili, le mappe di struttura sono lisce, e le mappe sorgente e bersaglio sono summersioni. Questa nozione è la diretta generalizzazione di un gruppo di Lie. Come per i gruppi di Lie, è possibile studiare un gruppoide di Lie attraverso la sua controparte infinitesima, il suo algebroide di Lie, che generalizza il concetto di algebra di Lie.^[4]

Un gruppoide di Lie ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ può essere dotato di ulteriori strutture geometriche: è sufficiente equipaggiare la varietà ${\displaystyle G}$ con una struttura geometrica, e imporre un'appropriata condizione algebrica di compatibilità con la moltiplicazione^[5]. Questi tipi di gruppoidi sono strumenti fondamentali in geometria simplettica e geometria di Poisson^[6][7][8] e in teoria delle foliazioni^[9].

Note

1. (DE) H. Brandt Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes Mathematische Annalen 96, 1927, 360-366^{[collegamento interrotto]}
2. Mackenzie, K. (Kirill), Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry, Cambridge University Press, 1987, ISBN 978-1-107-36145-4, OCLC 839305395. URL consultato l'8 febbraio 2020.
3. Mackenzie, K. (Kirill), General theory of lie groupoids and lie algebroids, Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-1-107-32588-3, OCLC 841393151. URL consultato l'8 febbraio 2020.
4. Marius Crainic e Rui Fernandes, Integrability of Lie brackets, in Annals of Mathematics, vol. 157, n. 2, 1º marzo 2003, pp. 575–620, DOI:10.4007/annals.2003.157.575. URL consultato l'8 febbraio 2020.
5. (EN) Yvette Kosmann-Schwarzbach, Multiplicativity, from Lie groups to generalized geometry, in Banach Center Publications, vol. 110, 2016, pp. 131–166, DOI:10.4064/bc110-0-10. URL consultato l'8 febbraio 2020.
6. Alan Weinstein, Symplectic groupoids and Poisson manifolds, in Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 16, n. 1, 1º gennaio 1987, pp. 101–105, DOI:10.1090/s0273-0979-1987-15473-5. URL consultato l'8 febbraio 2020.
7. (EN) Alan Weinstein, Coisotropic calculus and Poisson groupoids, in Journal of the Mathematical Society of Japan, vol. 40, n. 4, 1988-10, pp. 705–727, DOI:10.2969/jmsj/04040705. URL consultato l'8 febbraio 2020.
8. (EN) Marius Crainic e Rui Loja Fernandes, Integrability of Poisson Brackets, in Journal of Differential Geometry, vol. 66, n. 1, 2004-01, pp. 71–137, DOI:10.4310/jdg/1090415030. URL consultato l'8 febbraio 2020.
9. Moerdijk, Ieke e Mrc̆un, Janez, Introduction to foliations and Lie groupoids, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-511-06307-5, OCLC 57254299. URL consultato l'8 febbraio 2020.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Groupoid, su MathWorld, Wolfram Research.

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