Lente sottile

In ottica, una lente sottile è una lente che ha uno spessore trascurabile (ovvero, la distanza tra le due superfici della lente, misurata lungo l'asse ottico), rispetto ai raggi di curvatura delle sue superfici e rispetto alla lunghezza focale (la quale determina anche il rapporto tra le distanze dell’immagine e dell’oggetto, dalla lente stessa^[1]). In genere, è usata anche come esempio equivalente di un gruppo di lenti, aventi uno spessore non più trascurabile (come ad esempio, gli obiettivi fotografici). Le lenti singole il cui spessore non è trascurabile, sono talvolta chiamate lenti spesse e necessitano di calcoli più complessi, poiché l'approssimazione della lente sottile non tiene conto degli effetti ottici dovuti allo spessore, semplificando i calcoli di tracciamento dei raggi. Spesso è combinata con l'approssimazione parassiale in applicazioni come l'analisi della matrice di trasferimento dei raggi.

Una lente può essere considerata una lente sottile se il suo spessore è molto inferiore al raggio di curvatura delle sue superfici (d ≪ R₁ e d ≪ R₂)

Lunghezza focale

La lunghezza focale ${\displaystyle (f)}$ di una lente (in aria), è data dall'equazione:

${\displaystyle {\frac {1}{f}}=(n-1)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {(n-1)d}{nR_{1}R_{2}}}\right],}$

dove ${\displaystyle n}$ è l'indice di rifrazione del materiale della lente e ${\displaystyle R_{1}}$ e ${\displaystyle R_{2}}$ sono i raggi di curvatura delle due superfici. Per una lente sottile ${\displaystyle d}$ è molto più piccolo di uno dei raggi di curvatura. In queste condizioni, l'ultimo termine dell'equazione diventa trascurabile e la lunghezza focale di una lente sottile in aria, può essere approssimata a:^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{f}}\approx \left(n-1\right)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right].}$

In questo caso ${\displaystyle R_{1}}$ è considerato positivo se la prima superficie è convessa, oppure negativo se la superficie è concava. I segni sono invertiti per la superficie posteriore della lente: ${\displaystyle R_{2}}$ è positivo se la superficie è concava e negativo se convessa^[3]. Questa convenzione di segno è del tutto arbitraria ed alcuni autori scelgono segni diversi per i raggi, il che modifica l'equazione.

Formazione dell'immagine

Figura 1: rappresentazione di come si forma l'immagine attraverso una lente convergente con il metodo dei tre raggi.

Quando passano attraverso una lente sottile, i raggi parassiali seguono alcune semplici regole, talvolta riunite nella dicitura metodo dei tre raggi:^[4]

• Qualsiasi raggio che incide con traiettoria parallela all'asse da un lato della lente viene rifratto verso il punto focale ${\displaystyle F}$ dall'altro lato (raggio rosso).
• Qualsiasi raggio che incide sulla lente dopo aver attraversato il punto focale da un lato, esce parallelo all'asse sull'altro lato della lente (raggio giallo).
• Qualsiasi raggio che incide sulla lente attraversandone il centro verrà rifratto in modo tale che non cambi la sua direzione (raggio azzurro).

Il punto in cui i tre raggi si incontrano, sarà il punto in cui si forma l'immagine.

La relazione tra la distanza dell'oggetto che funge da sorgente ${\displaystyle s}$ e la distanza dell'immagine ${\displaystyle s'}$ può essere rappresentata come:^[5]

${\displaystyle {1 \over s}+{1 \over s'}={1 \over f}}$ ,

dove ${\displaystyle f}$ prende il nome di lunghezza focale (o distanza focale) ed è la distanza tra il punto ${\displaystyle F}$ e il centro della lente.

Tale relazione è conosciuta come equazione della lente sottile o equazione degli ottici.

Tipi di immagine

Lo stesso argomento in dettaglio: Lente.

Quando i raggi luminosi (emessi da una sorgente luminosa o riflessi da un oggetto illuminato) colpiscono una lente, il risultato ottico (l'immagine) che si ottiene può avere caratteristiche differenti:^[6][7]

• l'immagine può formarsi oppure no
• l'immagine può essere ingrandita positivamente o negativamente (impiccolita)
• l'immagine può essere dritta oppure capovolta
• l'immagine può essere reale o virtuale.

Il risultato dipende dal tipo di lente (convergente o divergente) e dal punto in cui viene posizionata la sorgente:

Figura 2: se la sorgente è posizionata nel fuoco della lente, i tre raggi non si incontrano; il risultato è che non si forma alcuna immagine.

• Lente convergente:
  • se la sorgente è posizionata ad una distanza maggiore del doppio della distanza focale ${\displaystyle (s>2f)}$, allora l'immagine sarà reale, capovolta e rimpicciolita (figura 1)
  • se la sorgente è posizionata esattamente a una distanza pari al doppio della distanza focale ${\displaystyle (s=2f)}$, allora l'immagine sarà reale, capovolta e delle stesse dimensioni della sorgente
  • se la sorgente è posizionata tra la distanza focale e il doppio della distanza focale ${\displaystyle (f<s<2f)}$, l'immagine sarà reale, capovolta e ingrandita
  • se la sorgente si trova esattamente in ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (s=f)}$, l'immagine non si formerà (figura 2)
  • se la sorgente si trova tra il fuoco e il centro della lente, allora l'immagine sarà dritta, ingrandita e virtuale.

• Lente divergente:
  • in qualsiasi punto si posizioni la sorgente, l'immagine sarà sempre virtuale, dritta e rimpicciolita.

Ottica fisica

Nell'ottica ondulatoria una lente è una componente che sposta la fase del fronte d'onda. Matematicamente questo può essere inteso come un prodotto del fronte d'onda per la seguente funzione:^[8]

${\displaystyle \exp \left({\frac {2\pi i}{\lambda }}{\frac {r^{2}}{2f}}\right)}$ .

Note

1. Ferdinando Catalano, p.94.
2. (EN) Eugene Hecht, Optics, 2ndª ed., Addison Wesley, 1987, § 5.2.3, ISBN 0-201-11609-X.
3. Parodi-Ostili-Mochi Onori, p.141.
4. Parodi-Ostili-Mochi Onori, p.143.
5. Mazzoldi-Nigro-Voci, p.105.
6. Parodi-Ostili-Mochi Onori, pp.144-145.
7. Antonio Caforio e Aldo Ferilli, Dentro la Fisica, Firenze, Le Monnier, 2007, ISBN 978-88-00-20616-7. p.453
8. (EN) Bahaa E.A. Saleh, Fundamentals of Photonics, 2ndª ed., Wiley, 2007.

Bibliografia

• Gian Paolo Parodi, Marco Ostili e Guglielmo Mochi Onori, L'Evoluzione della Fisica-Volume 2, Torino, Paravia, 2006, ISBN 978-88-39-51610-7.
• Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro e Cesare Voci, Fisica-Volume II, Napoli, EdiSES, 2002, ISBN 88-7959-152-5.
• Ferdinando Catalano, Elementi di Ottica Generale, Bologna, Zanichelli, 2014, ISBN 978-88-08-09786-6.

Voci correlate

• Lente
• Lente spessa
• Indice di rifrazione
• Ingrandimento

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