Lemma di Yoneda

In matematica, il lemma di Yoneda è un risultato fondamentale nella teoria delle categorie. Nella sua forma più debole afferma che ogni categoria può essere considerata come una sottocategoria dei funtori contravarianti da essa alla categoria degli insiemi.^[1]

Definizioni

Sia ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ una categoria, e sia ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ la categoria degli insiemi. La categoria di prefasci su ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ a valori in ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ è la categoria ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )}$ di funtori contravarianti da ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ agli insiemi. Dati due funtori ${\displaystyle F,G\in \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )}$ l'insieme di morfismi da ${\displaystyle F}$ a ${\displaystyle G}$ è l'insieme ${\displaystyle \mathrm {Nat} (F,G)}$ di trasformazioni naturali da ${\displaystyle F}$ a ${\displaystyle G}$.

Fissato un oggetto ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$, di particolare rilievo è il funtore

${\displaystyle h_{A}\colon {\mathcal {C}}^{op}\to \mathbf {Set} }$

che mappa un oggetto ${\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}$ all'insieme ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,A)}$. Per ogni morfismo ${\displaystyle f\colon X\to Y\in {\mathcal {C}}}$ il funtore ${\displaystyle h_{A}}$ associa un morfismo ${\displaystyle h\colon X\to A}$ al morfismo ${\displaystyle g\colon Y\to A}$ dato da ${\displaystyle h=g\circ f}$.

Enunciato

Il lemma di Yoneda asserisce il fatto seguente:

Vi è una corrispondenza biunivoca ${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},F)\cong F(A)}$.

Un caso particolare è quello dove ${\displaystyle F=h_{Y}}$; in tal caso, il lemma di Yoneda afferma che la categoria ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ è una sottocategoria di ${\displaystyle \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )}$ tramite il funtore ${\displaystyle h:{\mathcal {C}}\to \mathrm {Hom} ({\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} )}$.

Dimostrazione

La dimostrazione del lemma di Yoneda è contenuta nel seguente diagramma commutativo:

Proof of Yoneda's lemma

Note

1. Fantechi, Barbara, 1966-, Fundamental algebraic geometry : Grothendieck's FGA explained, American Mathematical Society, 2005, ISBN 0821835416, OCLC 61362228. URL consultato il 7 ottobre 2018.

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