Intervallo (matematica)

In matematica, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$. Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.

Definizione

Formalmente, un sottoinsieme ${\displaystyle S}$ dei numeri reali ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle S}$, ogni elemento ${\displaystyle z}$ appartenente a ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tale che ${\displaystyle x<z<y}$ appartiene anch'esso in ${\displaystyle S}$. In ${\displaystyle \mathbb {R} }$ gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

Gli intervalli di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sono quindi gli insiemi seguenti (dove ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono due numeri reali tali che ${\displaystyle a<b}$):^[1]

1. ${\displaystyle (a,b)=\{x|a<x<b\}}$ (intervallo aperto)
2. ${\displaystyle [a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}}$ (intervallo chiuso)
3. ${\displaystyle [a,b)=\{x|a\leq x<b\}}$ (intervallo chiuso a sinistra)
4. ${\displaystyle (a,b]=\{x|a<x\leq b\}}$ (intervallo chiuso a destra)
5. ${\displaystyle (a,+\infty )=\{x|x>a\}}$ (intervallo aperto infinito a destra)
6. ${\displaystyle [a,+\infty )=\{x|x\geq a\}}$ (intervallo chiuso infinito a destra)
7. ${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x|x<b\}}$ (intervallo aperto infinito a sinistra)
8. ${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x|x\leq b\}}$ (intervallo chiuso infinito a sinistra)
9. ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )=\mathbb {R} }$ (tutta la retta reale)
10. ${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$ (un punto)
11. l'insieme vuoto

I punti ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle ]}$ indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle )}$ indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa ${\displaystyle ]}$ e ${\displaystyle [}$ rispettivamente al posto di ${\displaystyle (}$ e ${\displaystyle )}$. Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2^[2] come equivalenti sebbene la notazione che prevede l'utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.

I primi quattro intervalli hanno lunghezza ${\displaystyle b-a}$, i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza ${\displaystyle 0}$.

L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso ${\displaystyle [0,1]}$.

Proprietà

• L'unione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo. L'intersezione di due intervalli è sempre un intervallo, eventualmente l'insieme vuoto.
• L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$ è ancora un intervallo.
• Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
• Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo ${\displaystyle [a,b]}$.
• Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli: un punto, ${\displaystyle [0,1]}$, ${\displaystyle [0,1)}$, ${\displaystyle (0,1)}$ o l'insieme vuoto.

Notazioni alternative

Raramente in ambito matematico, ma sovente in ambito ingegneristico, il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.

Note

1. Manetti, M., p. 10.
2. (EN) ISO 80000-2 Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology (PDF), su ise.ncsu.edu. URL consultato il 18 marzo 2024 (archiviato dall'url originale il 31 ottobre 2014).

Bibliografia

• Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.

Voci correlate

• Intervalli in un qualsiasi insieme ordinato
• Numeri reali

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Intervallo, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Intervallo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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