Interferometro di Mach-Zehnder

L'interferometro di Mach-Zehnder è un tipo di interferometro a divisione di ampiezza,^[1] costituito da due specchi e da due beam splitter.^[2][3] Le onde all'interno del sistema percorrono due strade differenti; la differenza di cammino ottico può essere introdotta da una piccola asimmetria in uno dei beam splitter. Visto che i due percorsi sono separati, tale interferometro è difficile da allineare. Inoltre un variatore di fase (phase shifter) permette d'introdurre uno sfasamento variabile dell'onda tra i due cammini, compreso nell'intervallo ${\displaystyle (0^{\circ }\leq \Delta \phi \leq 180^{\circ })}$. Le sue applicazioni sono molto numerose: generalmente lungo uno dei due percorsi viene inserito un oggetto, ad esempio un vetro, che produce una differenza di cammino ottico. Conoscendo tale differenza, è ad esempio possibile calcolare l'indice di rifrazione del mezzo interposto.

Schema dell'interferometro di Mach-Zehnder

Storia

L'interferometro prende il nome dai fisici Ludwig Mach (figlio di Ernst Mach) e Ludwig Zehnder. La proposta di Zehnder comparve in un articolo del 1891^[4] e fu rifinita da Mach nel 1892.^[5]

L'applicabilità dell'interferometria di Mach–Zehnder anche a particelle diverse dai fotoni della luce è stata dimostrata con diversi esperimenti.^[6]

Analisi quantistica

Percorso usuale

Analisi dei cammini con vettori colonna

Il funzionamento dell'interferometro può essere analizzato immaginando di inviare un singolo quanto di energia (fotone) e non un generico fascio di luce coerente. A ogni cammino viene associato un vettore colonna che tiene conto delle probabilità della particella di compiere l'uno o l'altro percorso.

In figura è riportato il sistema in esame: il vettore ${\displaystyle {\binom {0}{1}}}$ indica il primo cammino del fotone (in basso a sinistra dell'immagine), vi è quindi una probabilità pari a 1 che esso compia questo percorso, mentre la probabilità relativa al cammino superiore è nulla. Incontrando il primo beam splitter (BS1) lo stato del fotone viene modificato: in termini "classici" BS1 riflette metà del fascio incidente e ne trasmette l'altra metà ma, essendo un quanto di energia, il fotone non può essere scisso, perciò è possibile immaginare che la particella compia contemporaneamente entrambi i cammini per poi interferire con sé stesso nel secondo beam splitter (BS2). Per trovare il nuovo vettore colonna, che esprime lo stato del fotone una volta oltrepassato BS1, è sufficiente applicare il prodotto vettoriale tra la matrice del beam splitter e lo stato del fotone incidente:

${\displaystyle BS1={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$

Si ottiene perciò che il nuovo vettore all'uscita di BS1 sarà:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}\times {\binom {0}{1}}={\binom {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$

La probabilità che il fotone segua il percorso superiore coincide con quella di seguire il percorso inferiore (eventi equiprobabili) ed è pari a ${\displaystyle \left\vert {\frac {1}{\sqrt {2}}}\right\vert ^{2}={\frac {1}{2}}}$

Indicando con ${\displaystyle |\uparrow \rangle }$ lo stato del fotone che compie il cammino superiore e con ${\displaystyle |\downarrow \rangle }$ lo stato relativo al cammino inferiore, all'interno dell'interferometro, il fotone si trova in una sovrapposizione di stati, definita come:

${\displaystyle |\Psi \rangle =\alpha \cdot |\uparrow \rangle +\beta \cdot |\downarrow \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot |\uparrow \rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot |\downarrow \rangle }$

Gli specchi M1 e M2 non modificano le probabilità, il vettore rimane lo stesso calcolato precedentemente fino a quando non si incontra il secondo beam splitter (BS2).

Per calcolare il nuovo stato del fotone si considera la matrice relativa a BS2:

${\displaystyle BS2={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$

e la si applica in prodotto vettoriale allo stato del fotone, come segue:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\times {\binom {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}={\binom {1}{0}}}$

Dal risultato si evince che il fotone inviato nell'interferometro verrà rilevato esclusivamente da D0 (la probabilità di eseguire il cammino superiore è pari a 1) e mai da D1, posto lungo il cammino inferiore. In modo complementare, un fotone preparato nello stato ${\displaystyle {\binom {1}{0}}}$ uscirà dall'interferometro nello stato ${\displaystyle {\binom {0}{1}}}$ e perciò sarà rilevato sempre da D1 e mai da D0.^[7]

Percorso interrotto

Interferometro di Mach-Zehnder con percorso inferiore bloccato

Se si modifica la struttura dell'interferometro ponendo ad esempio un blocco di materiale assorbente lungo il percorso inferiore, è possibile analizzare nuovamente i cammini del fotone (e quindi le probabilità associate) utilizzando il metodo illustrato nel paragrafo precedente. Lo schema è riportato nella figura.

Il fotone incidente è posto nello stato ${\displaystyle {\binom {0}{1}}}$ come visto precedentemente, il primo beam splitter BS1 modifica le probabilità del fotone producendo un vettore colonna pari a ${\displaystyle {\binom {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}$. A questo punto però il fotone può proseguire seguendo il cammino superiore con probabilità pari a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ oppure essere assorbito dal blocco consistente con egual probabilità. Come denotato dalla figura, una volta superato M1 lo stato del fotone sarà ${\displaystyle {\binom {\frac {1}{\sqrt {2}}}{0}}}$. Infine il fotone incontrerà il secondo beam splitter BS2 dal quale è possibile ottenere lo stato finale calcolando il prodotto vettoriale tra la matrice caratteristica di BS2 e lo stato precedente: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\times {\binom {\frac {1}{\sqrt {2}}}{0}}={\binom {\frac {1}{2}}{\frac {1}{2}}}}$ Perciò vi sarà una probabilità pari a ${\displaystyle |{\frac {1}{2}}|^{2}={\frac {1}{4}}}$ che il fotone venga rilevato da D0 o da D1.

Questo risultato è strabiliante, poiché permette di effettuare una misura senza interagire direttamente con il sistema misurato ed è un fenomeno della meccanica quantistica che non ha un analogo nel mondo classico.

In definitiva i risultati di questa configurazione dell'interferometro di Mach Zehnder sono:

• fotone assorbito con probabilità pari a ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
• fotone rilevato da D0 con probabilità pari a ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$
• fotone rilevato da D1 con probabilità pari a ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

Il risultato ottenuto è coerente in quanto ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}=1}$

Confrontando i due casi analizzati (configurazione "classica" e configurazione con ostacolo) il caso in cui D1 rilevi il fotone è indicatore della presenza di un ostacolo lungo il cammino inferiore ma, sostanzialmente, la particella non ha mai interagito con il materiale assorbente. Questo fenomeno non esiste in fisica classica ed è trattato esaustivamente dal famoso esperimento mentale di Elitzur-Vaidman, nel quale è possibile "misurare" il corretto funzionamento (o meno) di una bomba senza innescarne il meccanismo di detonazione.^[8]

Note e fonti citate

1. P. Hariharan, Basics of Interferometry, Elsevier Inc., 2007, ISBN 978-0-12-373589-8.
2. K. P.; Adams, S. F.; Tocknell, R. M. Zetie, How does a Mach–Zehnder interferometer work? (PDF), su cs.princeton.edu, Physics Department, Westminster School, London. URL consultato l'8 aprile 2012.
3. Harry I. Ashkenas, The design and construction of a Mach–Zehnder interferometer for use with the GALCIT Transonic Wind Tunnel. Engineer's thesis, California Institute of Technology, 1950, DOI:10.7907/D0V1-MJ80.
4. Ludwig Zehnder, Ein neuer Interferenzrefraktor, in Zeitschrift für Instrumentenkunde, vol. 11, 1891, pp. 275–285.
5. Ludwig Mach, Ueber einen Interferenzrefraktor, in Zeitschrift für Instrumentenkunde, vol. 12, 1892, pp. 89–93.
6. (EN) Yang Ji, Yunchul Chung, D. Sprinzak, M. Heiblum, D. Mahalu e Hadas Shtrikman, An electronic Mach–Zehnder interferometer, in Nature, vol. 422, n. 6930, marzo 2003, pp. 415–418, Bibcode:2003Natur.422..415J, DOI:10.1038/nature01503, ISSN 0028-0836 (WC · ACNP), PMID 12660779, arXiv:cond-mat/0303553.
7. Experiments with photons (PDF), su ocw.mit.edu.
8. Atomic “bomb testing”: the Elitzur–Vaidman experiment violates the Leggett–Garg inequality, su link.springer.com.

Voci correlate

• Esperimento di cancellazione quantistica a scelta ritardata
• Esperimento di Elitzur-Vaidman

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