Gruppo ordinato

In algebra, un gruppo ordinato è un gruppo ${\displaystyle G}$ dotato di una relazione d'ordine parziale che preserva l'operazione di gruppo: se ${\displaystyle \leq }$ è una relazione d'ordine su ${\displaystyle G}$, allora per ogni ${\displaystyle a,b,c}$ in ${\displaystyle G}$ deve valere che

${\displaystyle a\leq b}$ implica ${\displaystyle ac\leq bc}$ e ${\displaystyle ca\leq cb.}$

Si dice anche che ${\displaystyle \leq }$ è invariante per traslazioni (la motivazione del nome è più evidente per gruppi additivi).

Grazie alle proprietà di un gruppo possiamo enunciare la caratterizzazione:

${\displaystyle a\leq b}$ se e solo se ${\displaystyle e\leq a^{-1}b,}$

dove ${\displaystyle e}$ è l'elemento neutro del gruppo. L'insieme degli elementi maggiori o uguali di ${\displaystyle e}$ si denota con ${\displaystyle G^{+}}$ e si dice il cono positivo di ${\displaystyle G}$. L'insieme ${\displaystyle G^{+}}$ definisce completamente l'ordine: infatti un gruppo è un gruppo ordinato se e solo se esiste un suo sottoinsieme ${\displaystyle H}$ (che sarà proprio ${\displaystyle G^{+}}$) tale che:

• ${\displaystyle e\in H}$;
• se ${\displaystyle a,b\in H}$, allora ${\displaystyle ab\in H}$;
• se ${\displaystyle a\in H}$, allora ${\displaystyle b^{-1}ab\in H}$ per ogni ${\displaystyle b}$;
• se ${\displaystyle a,a^{-1}\in H}$, allora ${\displaystyle a=e}$.

Un omomorfismo tra gruppi ordinati (o O-omomorfismo) è definito come un omomorfismo di gruppi che sia anche una funzione monotona.

Esempi

• Uno spazio vettoriale ordinato e un campo ordinato sono banalmente gruppi ordinati rispetto all'addizione.
• Il prodotto diretto di ${\displaystyle n}$ copie del gruppo additivo dei numeri interi ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ con l'ordinamento "termine a termine", cioè ${\displaystyle a\leq b}$ se ${\displaystyle a_{i}\leq b_{i}}$ per ogni ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, è un gruppo ordinato.
• L'insieme delle funzioni da un qualsiasi insieme a un gruppo ordinato è un gruppo ordinato, con le operazioni definite puntualmente.

Collegamenti esterni

• (EN) Gruppo ordinato / Gruppo ordinato (altra versione), su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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