Funzione monotona
tipo di funzione Da Wikipedia, l'enciclopedia libera
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In matematica, una funzione monotòna è una funzione che mantiene l'ordinamento tra insiemi ordinati. Queste funzioni sono state dapprima definite in analisi e successivamente sono state generalizzate nell'ambito più astratto della teoria degli ordini. I concetti di monotonia nelle due discipline sono in effetti gli stessi, anche se la terminologia è un po' differente. In analisi spesso si parla di funzioni monotone crescenti e monotone decrescenti, la teoria degli ordini invece preferisce i termini monotona e antitona oppure che conserva l'ordine (order-preserving) e che inverte l'ordine (order-reversing).
Sia una funzione tra due insiemi e , entrambi dotati di ordinamento parziale, denotato col simbolo per entrambi gli insiemi. Di solito in analisi si pone l'accento su funzioni tra sottoinsiemi dei numeri reali e la relazione d'ordine è la relazione d'ordine usuale dei numeri reali, ma questa posizione non è necessaria ai fini di questa definizione.
La funzione si dice monotona se, per ogni , allora . Detto in altri termini, una funzione monotona conserva l'ordinamento.
In analisi matematica di solito non è necessario utilizzare i metodi astratti della teoria degli ordini. Come già sottolineato, le funzioni di solito operano tra sottoinsiemi dei numeri reali, ordinati secondo l'ordinamento naturale.
Prendendo spunto dalla forma che ha il grafico di una funzione monotona sui reali, una funzione che possiede la proprietà sopra enunciata viene anche detta monotona crescente (o monotona non decrescente).
Analogamente, una funzione viene detta monotona decrescente (o monotona non crescente) se, per ogni si ha che , cioè se inverte l'ordinamento.
Se la relazione d'ordine nella definizione di monotonia è sostituita dalla relazione d'ordine stretto , allora si richiede una proprietà più forte. Una funzione che gode di questa proprietà viene detta strettamente crescente. Anche in questo caso, invertendo il simbolo di ordinamento, si può ottenere il concetto di funzione strettamente decrescente. Le funzioni strettamente crescenti o decrescenti sono dette strettamente monotone e sono iniettive (perché implica ) e dunque invertibili restringendo il codominio all'immagine.
I termini non decrescente e non crescente evitano ogni possibile confusione con strettamente crescente e strettamente decrescente, rispettivamente.
In analisi, ognuna delle seguenti proprietà di una funzione implica la successiva:
Dimostriamo che la seconda affermazione implica la terza.
Sia l'intervallo l'insieme di definizione della funzione e sia un punto di discontinuità della funzione. Dimostriamo per esclusione che questa deve essere di prima specie.
Si consideri ad esempio monotona non decrescente (un discorso analogo vale per una funzione non crescente). Data la proprietà precedente, ammette limite sinistro e destro in :
E deve essere, per la monotonia, , perciò i limiti devono esistere finiti. Questo significa che la discontinuità non può essere di seconda specie.
Poiché è di discontinuità non può essere , perciò e non sono eguali, il che esclude anche la discontinuità "eliminabile".
Per esclusione, allora, in si ha una discontinuità di prima specie.
Dimostriamo ora che la terza affermazione implica la quarta.
Valgano le stesse ipotesi della precedente dimostrazione, e sia un altro punto di discontinuità tale che, ad esempio, . Per la monotonia e per il risultato di cui sopra abbiamo dove diciture come sono state definite come nella dimostrazione precedente. Gli intervalli non vuoti e sono evidentemente disgiunti; poiché i razionali sono densi nei reali, ciascuno di questi intervalli ne contiene almeno uno, il quale non è contenuto nell'altro. Posso costruire una funzione che associ biunivocamente un numero razionale a ogni intervallo del tipo che lo contiene, il quale intervallo rappresenta il salto della funzione nel punto di discontinuità :
Poiché i numeri razionali sono numerabili, il numero di punti di discontinuità in è al più numerabile.
Queste proprietà sono la ragione per la quale le funzioni monotone sono utili nel lavoro tecnico dell'analisi matematica. Due proprietà riguardanti queste funzioni sono:
Un'importante applicazione delle funzioni monotone la si ha nella teoria della probabilità. Se è una variabile casuale, la sua funzione di distribuzione cumulativa
è una funzione monotona crescente.
Una funzione è unimodale se è monotona crescente fino a un certo punto (la moda) e poi è monotona decrescente.
Nella teoria degli ordini non ci si restringe ai numeri reali, ma si ha a che fare con insiemi parzialmente ordinati arbitrari o addirittura con insiemi preordinati. In questi casi le definizioni date sopra di monotonia rimangono valide, anche se i termini "crescente" e "decrescente" vengono evitati, dal momento che perdono il loro significato grafico non appena si ha a che fare con ordinamenti che non sono totali. Inoltre le relazioni strette e sono poco usate in molti ordinamenti non totali e quindi non viene introdotta altra terminologia addizionale per esse.
Il concetto duale è spesso chiamato antitonia, anti-monotonia o order-reversing. Perciò una funzione antitona soddisfa alla proprietà seguente:
per ogni e nel suo dominio. È facile vedere che la composizione di due funzioni monotone è a sua volta monotona.
Una funzione costante è sia monotona che antitona; inversamente, se è sia monotona che antitona, e se il dominio di è un reticolo, allora deve essere costante.
Le funzioni monotone sono di primaria importanza nella teoria degli ordini. Alcune funzioni monotone degne di nota sono le immersioni d'ordine (order embedding) (funzioni per le quali e gli isomorfismi d'ordine (immersioni suriettive).
La monotonia dell'implicazione è una proprietà di molti sistemi logici che afferma che le ipotesi di ogni fatto derivato possono essere liberamente estese con assunzioni addizionali. Ogni affermazione che era vera in una logica con questa proprietà, sarà ancora vera dopo l'aggiunta di un qualunque nuovo assioma (consistente). Logiche con questa proprietà possono essere chiamate monotone allo scopo di essere distinte dalle logiche non monotone.